高考理科数学模拟考试试卷数学试卷（理科）2022.04说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据。一、填空题（本大题满分55分）本大题共有11小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得5分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1．若集合，则．2．不等式的解为．3．设的反函数为，若函数的图像过点，且，则．4．若，，其中为虚数单位，且，则实数．（第8题）5．二项式的展开式中的常数项为．6．若点是圆内异于圆心的点，则直线与该圆的位置关系是．7．将参数方程（为参数，）化为普通方程，所得方程是．8．右图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是．9．在中，设角、、所对的边分别是、、，若，且,则．10．若函数能使得不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是8/8\n11．在平面直角坐标系中，若为坐标原点，则、、三点在同一直线上的充要条件为存在惟一的实数，使得成立，此时称实数为“向量关于和的终点共线分解系数”．若已知、，且向量是直线的法向量，则“向量关于和的终点共线分解系数”为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中.每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个，或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.12．若、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则以下命题正确的是()A．若，，则；B．若，，则；C．若，，则；D．若，，则．13．若函数，则当时，可化简为()A．；B；C．；D．．14．设数列的前项之和为，若()，则()A．是等差数列，但不是等比数列；B．是等比数列，但不是等差数列；C．是等差数列，或是等比数列；D．可以既不是等比数列，也不是等差数列．15．关于函数和实数、的下列结论中正确的是()A．若，则；B．若，则；C．若，则；D．若，则.三、解答题（本大题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.（第16题）16.(本题满分12分，第1小题4分，第2小题8分)如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径.（1）求证：；8/8\n（2）若圆柱的体积为，，，求异面直线与所成的角（用反三角函数值表示结果）.17．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)袋中有8个颜色不同，其它都相同的球，其中1个为黑球，3个为白球，4个为红球.（1）若从袋中一次摸出2个球，求所摸出的2个球恰为异色球的概率；（2）若从袋中一次摸出3个球，且所摸得的3球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时得到红球的个数为，求随机变量的概率分布律，并求的数学期望和方差.18.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)已知数列的前项和为，且对任意正整数，都满足：，其中为实数.（1）求数列的通项公式；（2）若为杨辉三角第行中所有数的和，即，为杨辉三角前行中所有数的和，亦即为数列的前项和，求的值.19．(本题满分17分，第1小题6分，第2小题11分)已知函数，.（1）证明：函数在区间上为增函数，并指出函数在区间上的单调性；（2）若函数的图像与直线有两个不同的交点，，其中，求的取值范围.（第20题）20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题9分)如图，已知点，动点在轴上，点在轴上，其横坐标不小于零，点在直线上，且满足，.8/8\n（1）当点在轴上移动时，求点的轨迹；（2）过定点作互相垂直的直线与，与（1）中的轨迹交于、两点，与（1）中的轨迹交于、两点，求四边形面积的最小值；（3）（在下列两题中，任选一题，写出计算过程，并求出结果，若同时选做两题，则只批阅第②小题，第①题的解答，不管正确与否，一律视为无效，不予批阅）：①（解答本题，最多得6分）将（1）中的曲线推广为椭圆：，并将（2）中的定点取为焦点，求与（2）相类似的问题的解；②（解答本题，最多得9分）将（1）中的曲线推广为椭圆：，并将（2）中的定点取为原点，求与（2）相类似的问题的解.8/8\n2022学年卢湾区高考模拟考试数学试卷评分标准（理科）一、填空题（本大题共11题，每小题5分，满分55分）1．2．3．4．5．6．相离7．8．9．10．11．二、选择题（本大题共4题，每小题5分，满分20分）12．B13．D14．D15．C三、解答题（本大题满分75分）16．（1）证明：易知，又由平面，得，从而平面，故；（4分）（2）解：以为原点，分别以，为，轴的正向，并以的垂直平分线为轴，建立空间直角坐标系.由题意，解得.（6分）易得相关点的坐标分别为：，，，.得，，（9分）设与的夹角为，异面直线与所成的角为，则，得，即异面直线与所成的角为.（12分）17．解：（1）摸出的2个球为异色球的不同摸法种数为种，从8个球中摸出2个球的不同摸法种数为，故所求概率为；（6分）（2）符合条件的摸法包括以下三种：一种是所摸得的3球中有1个红球，1个黑球，1个白球，共有种不同摸法，一种是所摸得的3球中有2个红球，1个其它颜色球，共有种不同摸法，一种是所摸得的3球均为红球，共有种不同摸法，故符合条件的不同摸法共有种.由题意随机变量的取值可以为，，.得随机变量的概率分布律为：123（12分），（13分）.（14分）18．解：（1）由已知，，相减得，由得，又，得，故数列是一个以为首项，以为公比的等比数列.（4分）8/8\n从而；（6分）（2），（7分）又，故，（11分）于是，当，即时，，当，即时，，当，即时，不存在.（14分）19．（1）证明：任取，，且，，.所以在区间上为增函数.（5分）函数在区间上为减函数.（6分）（2）解：因为函数在区间上为增函数，相应的函数值为，在区间上为减函数，相应的函数值为，由题意函数的图像与直线有两个不同的交点，故有，（8分）易知，分别位于直线的两侧，由，得，故，，又，两点的坐标满足方程，故得，，即，，（10分）故，当时，，，故，又，因此；（14分）当时，，，从而；（16分）综上所述，的取值范围为.（17分）20.解：（1）设，易知，，，由题设，8/8\n得其中，从而，，且，又由已知，得，当时，，此时，得，又，故，，即，，当时，点为原点，为轴，为轴，点也为原点，从而点也为原点，因此点的轨迹的方程为，它表示以原点为顶点，以为焦点的抛物线；（4分）（2）由题设，可设直线的方程为，直线的方程为，，又设、，则由，消去，整理得，故，同理，（7分）则，当且仅当时等号成立，因此四边形面积的最小值为.（9分）（3）①当时可设直线的方程为，由，得，故，，（12分），当且仅当时等号成立.（14分）当时，易知，，得，故当且仅当时四边形面积有最小值.（15分）②由题设，可设直线的方程为，当时，由，8/8\n消去，整理得，得，同理，（12分）则，其中，若令，则由，其中，即，故当且仅当，即时，有最大值，由，得有最小值，故当且仅当时，四边形面积有最小值为.（17分）又当时，，，此时，由，得当且仅当时，四边形面积有最小值为.（18分）本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn提供！8/8
