函数的零点、三个“二次”间的关系[A级 基础巩固]1．(多选)下列说法正确的是( )A．f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为(－1，0)B．f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1C．y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴的交点D．y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标解析：选BD 根据函数零点的定义，f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1，也就是函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．因此，只有说法B、D正确，故选B、D.2．函数f(x)＝x3－4x的零点为( )A．(0，0)，(2，0) B．(－2，0)，(0，0)，(2，0)C．－2，0，2D．0，2解析：选C 令f(x)＝0，得x(x－2)(x＋2)＝0，解得x＝0或x＝±2，故选C.3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：x－3－2－101234y60－4－6－6－406则一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是( )A．{x|x＜－2或x＞3}B．{x|x≤－2或x≥3}C．{x|－2＜x＜3}D．{x|－2≤x≤3}解析：选A 由表格可知，函数的图像开口向上，且零点为x＝－2，x＝3，因此图像关于直线x＝对称，从而一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|x＜－2或x＞3}．4．不等式mx2－ax－1＞0(m＞0)的解集可能是( )A.B．RC.D．∅解析：选A 因为Δ＝a2＋4m＞0，所以函数y＝mx2－ax－1的图像与x轴有两个交点，又m＞0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D选项．5．关于x的不等式ax－b＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x5
－3)＞0的解集是( )A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B．(－1，3)C．(1，3)D．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选A 由题意，知a＞0，且1是ax－b＝0的根，所以a＝b＞0，所以(ax＋b)(x－3)＝a(x＋1)(x－3)＞0，所以x＜－1或x＞3，因此原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．6．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有________个．解析：∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.答案：37．若f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－x的零点为________．解析：由f(x)＝x，得或解得x＝1＋或x＝1.答案：1，1＋8．已知函数f(x)＝若f(a)≤3，则a的取值范围是________．解析：当a≥0时，a2＋2a≤3，所以0≤a≤1；当a＜0时，－a2＋2a≤3，所以a＜0.综上所述，a的取值范围是(－∞，1]．答案：(－∞，1]9．已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值．解：(1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ＞0，即4＋12(1－m)＞0，可解得m＜；由Δ＝0，可解得m＝；由Δ＜0，可解得m＞.5
故当m＜时，函数有两个零点；当m＝时，函数有一个零点；当m＞时，函数无零点．(2)因为0是对应方程的根，有1－m＝0，可解得m＝1.10．解下列不等式：(1)(x2＋3x－4)(x－1)(－8x＋24)≤0；(2)<0.解：(1)原不等式等价于(x＋4)(x－1)2·(x－3)≥0，令y＝(x＋4)·(x－1)2(x－3)，得y＝0对应的根为－4，1，3，其中1为双重根．把各因式的根在数轴上标出，如图所示．由图可得，原不等式的解集为{x|x≤－4或x＝1或x≥3}．(2)法一：原不等式等价于 ①或 ②，解不等式组①得－2<x<1，解不等式组②得x<－3或x>3.故原不等式的解集为{x|x<－3或－2<x<1或x>3}．法二：将原不等式化为>0，即(x＋3)(x＋2)(x－1)(x－3)>0，各因式所对应的根分别为－3，－2，1，3，在数轴上标根并画出示意图，如图．故原不等式的解集为{x|x<－3或－2<x<1或x>3}．[B级 综合运用]11．存在x∈[－1，1]，使得x2＋mx－3m≥0，则m的最大值为( )A．1B.C.D．－1解析：选C 若对于任意x∈[－1，1]，不等式x2＋mx－3m<0恒成立，则由函数f(x)＝x2＋mx－3m的图像可知解得m>.所以若存在x∈[－1，1]，使得x2＋mx－3m≥0，则m≤，所以m的最大值为.故选C.5
12．一元二次方程x2－5x＋1－m＝0的两根均大于2，则实数m的取值范围是( )A.B．(－∞，－5)C.D.解析：选C 关于x的一元二次方程x2－5x＋1－m＝0的两根均大于2，则解得－≤m＜－5.故选C.13．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．解析：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以f(0)＝0.又因为f(－2)＝0，所以f(2)＝－f(－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.答案：3 014．已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a.(1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y＝f(x)在区间(－1，0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围．解：(1)“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题．依题意，f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根，因为Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根．(2)依题意，要使y＝f(x)在区间(－1，0)及内各有一个零点，只需即解得＜a＜.故实数a的取值范围为.[C级 拓展探究]15．若函数f(x)为R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2－4x＋3.5
(1)求f(x)在R的解析式；(2)若a∈R，g(x)＝f(x)－a，试讨论a取何值时，g(x)零点的个数最多？最少？解：(1)当x＝0时，f(0)＝0；当x＜0时，－x＞0，根据定义可知，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋4x＋3)＝－x2－4x－3，故f(x)＝(2)在坐标系中，作出函数f(x)的图像．当a＝0时，g(x)＝f(x)－a有5个零点；当0＜a＜1或－1＜a＜0时，g(x)有4个零点；当a＝±1时，g(x)有3个零点；当1＜a＜3或－3＜a＜－1时，g(x)有2个零点；当a≤－3或a≥3时，g(x)有1个零点；故a＝0时，g(x)＝f(x)－a零点的个数最多；a≤－3或a≥3时，g(x)零点的个数最少．5
