平面向量数量积的物理背景及其含义 (20分钟 35分)1.对于向量a,b,c和实数λ,下列命题中为真命题的是( )A.若a·b=0,则a=0或b=0B.若λa=0,则λ=0或a=0C.若a2=b2,则a=b或a=-bD.若a·b=a·c,则b=c【解析】选B.A错,当a与b的夹角为时,a·b=0;C错,a2=b2即|a|=|b|;D错,数量积不能约分;只有B对.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则·=( )A.-16 B.-8 C.8 D.16【解析】选D.设∠CAB=θ,所以AB=.·=||||cosθ=×4cosθ=16. 【补偿训练】 在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·(+)等于( )A.- B.- C. D.【解析】选A.由题意,结合图形有·(+)=·2=·=-=-=-.3.若非零向量a,b满足|a|=|b|,·b=0,则a与b的夹角为( )A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】选C.因为·b=a·b+b·b=0,所以a·b=-|b|2.设a与b的夹角为θ,则cosθ===-,故θ=120°.4.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角是90°,c=2a+3b,d=ka-4b,c与d垂直,则k的值为( )8
A.-6B.6C.3D.-3【解析】选B.因为c⊥d,所以c·d=0,所以(2a+3b)·(ka-4b)=0,所以2ka2-8a·b+3ka·b-12b2=0,所以2k=12,所以k=6.5.(2020·平顶山高一检测)已知|a|=4,|b|=6,且a·b=12,则向量a在向量b的方向上的投影为 . 【解析】设a与b的夹角为θ,因为a·b=|a||b|cosθ=12,又|b|=6,所以|a|cosθ=2,即a在b方向上的投影为2.答案:26.已知非零向量a,b满足|a|=1,(a-b)·(a+b)=,且a·b=.(1)求向量a,b的夹角θ.(2)求|a-b|.【解析】(1)因为(a-b)·(a+b)=,所以a2-b2=,即|a|2-|b|2=.又|a|=1,所以|b|=.因为a·b=,所以|a|·|b|cosθ=,所以cosθ=,所以向量a,b的夹角θ为45°.(2)因为|a-b|2=(a-b)2=|a|2-2|a||b|cosθ+|b|2=,所以|a-b|=. (30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.点O是△ABC所在平面上的一点,且满足·=·=·,则点O是△ABC的( )A.重心B.垂心C.内心D.外心【解析】选B.因为·=·,所以·(-)=0,即·=0,所以⊥8
,同理⊥,⊥,所以O是△ABC的垂心.2.如图,e1,e2为互相垂直的两个单位向量,则|a+b|=( )A.20B.C.2D.【解析】选C.由题意,知a=-e1-e2,b=-e1-e2,所以a+b=-2e1-4e2,所以|a+b|====2.3.(2020·潍坊高一检测)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=3,AC=2,若D为BC的中点,E为AD的中点,则·=( )A.-B.-C.D.-【解析】选A.根据题意,=(+)=-+=-+(-)=-+,所以·=·=-·+=-×3×2×+×4=-.4.在△ABC中,∠C=90°,||=6,点P满足|CP|=2,则·的最大值为( )A.9B.16C.18D.25【解析】选B.取AB的中点D,连接CD,因为∠C=90°,AB=6,所以|CD|=|AB|=3.设与的夹角为α,则·=(+)·(+)8
=+·(+)+·=+·(+)=22+·2=4+2·=4+2||·||cosα=4+2×2×3cosα=4+12cosα,所以当α=0°时,·的最大值为16. 【补偿训练】 在△ABC中,已知·=,||=3,||=3,M,N分别是BC边上的三等分点(M靠近B,N靠近C),则·的值是( )A.B.C.6D.7【解析】选B.方法一:因为·=,||=3,||=3,所以·=||||cos∠BAC=3×3cos∠BAC=,所以cos∠BAC=.因为∠BAC∈(0,π),所以∠BAC=,所以△ABC是等边三角形,即||=3.因为M,N分别是BC边上的三等分点,所以=+=+,=+=+=-,所以·=·=·-·+·-||2,因为·=,·=3×3×cos120°=-,·=3×3cos60°=,所以·=-×+×-1=.方法二:=+=+=+,=+=+(-)=+,·=++·=(32+32)+×=4+=.5.任意四边形ABCD内有一点O满足+++=0,则O点的位置是( )A.对角线的交点B.对边中点连线的交点8
C.BD的中点D.AC的中点【解析】选B.如图,分别取四边形ABCD各边的中点E,F,G,H.所以+=2,+=2;因为+++=0,所以2+2=0⇒=-,即O是EG的中点,同理O是FH的中点,所以点O为两组对边中点连线的交点.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知圆O是△ABC的外接圆,M是BC的中点,AB=4,AC=2,则·= . 【解析】因为M是BC的中点,所以=,又O是△ABC的外接圆圆心,所以·=||||cos∠BAO=||2=8,同理,所以·=||2=2,所以·=·=·+·=4+1=5.答案:57.(2020·鞍山高一检测)已知平面向量α,β,|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则|2α+β|的值是 . 【解析】|α|=1,|β|=2,由α⊥(α-2β),知α·(α-2β)=0,2α·β=1,所以|2α+β|2=4α2+4α·β+β2=4+2+4=10,故|2α+β|=.答案:8.已知|a|=3,|b|=4,且(a-2b)·(2a+b)≥4,则a与b的夹角θ的取值范围是 . 【解析】(a-2b)·(2a+b)=2a2+a·b-4a·b-2b2=8
2×9-3|a||b|cosθ-2×16=-14-3×3×4cosθ≥4,所以cosθ≤-,又θ∈[0,π],所以θ∈.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.【解析】当夹角为π时,也有(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,但此时夹角不是钝角.设2te1+7e2=λ(e1+te2),λ<0,则所以由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角θ为钝角,得cosθ=<0,所以(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,化简得2t2+15t+7<0.解得-7<t<-.所以所求实数t的取值范围是∪. 【补偿训练】 已知两个向量a,b满足|a|=2,|b|=3,a,b的夹角为60°,若向量a+λb与λa+b的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.【解析】由题意得a·b=|a||b|cos60°=2×3×=3,又(a+λb)·(λa+b)=λa2+(λ2+1)a·b+λb2,而向量a+λb与λa+b的夹角为锐角,所以λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,又|a|2=4,|b|2=9,a·b=3,所以3λ2+13λ+3>0,解得λ>或λ<.但是当λ=1时,向量a+λb与λa+b共线,其夹角不是锐角,故λ的取值范围是8
∪∪(1,+∞).10.已知|a|=2|b|=2,且向量a在向量b方向上的投影为-1.(1)求a与b的夹角θ.(2)求(a-2b)·b.(3)当λ为何值时,向量λa+b与向量a-3b互相垂直?【解析】(1)因为|a|=2|b|=2,所以|a|=2,|b|=1.又a在b方向上的投影为|a|cosθ=-1,所以cosθ=-=-,因为θ∈[0,π],所以θ=.(2)(a-2b)·b=a·b-2b2=-1-2=-3.(3)因为λa+b与a-3b互相垂直,所以(λa+b)·(a-3b)=λa2-3λa·b+b·a-3b2=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0,所以λ=.1.(2019·江苏高考)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若·=6·,则的值是 . 【解析】如图,过点D作DF∥CE,交AB于点F,由BE=2EA,D为BC的中点,知BF=FE=EA,AO=OD.6·=3·(-)=(+)·(-)=(+)·===·-+=·,8
得=,即||=||,故=.答案:2.如图,在直角△ABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,问:与的夹角取何值时,·最大?并求出这个最大值.【解析】设与的夹角为θ,则·=(-)·(-)=·-·-·+·=-a2-·+·=-a2-·(-)=-a2+·=-a2+a2cosθ.故当cosθ=1,即θ=0°(与方向相同)时,·最大,其最大值为0.8
