余弦定理[A级 基础巩固]1．在△ABC中，若a＝2，b＝，c＝＋1，则A＝( )A．45° B．30°C．135°D．150°解析：选A 在△ABC中，由余弦定理的推论，得cosA＝＝＝，∴A＝45°.2．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )A．1B．2C．3D．4解析：选A 在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，AB2＝BC2＋AC2－2AC·BCcosC，可得：13＝9＋AC2＋3AC，解得AC＝1或－4(舍去)．故选A.3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cosB＝( )A.B.C.D.解析：选B 由b2＝ac，又c＝2a，由余弦定理，得cosB＝＝＝.4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )A.B．8－4C．1D.解析：选A 依题意两式相减得ab＝.故选A.5．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cosA＝，且b<c，则( )A．b＝2B．b＝24
C．B＝60°D．B＝30°解析：选AD 由a2＝b2＋c2－2bccosA，得4＝b2＋12－6b⇒b2－6b＋8＝0⇒(b－2)(b－4)＝0，由b<c，得b＝2.又a＝2，cosA＝，所以B＝A＝30°，故选A、D.6．在△ABC中，已知a＝，c＝2，cosA＝，则b＝________．解析：由余弦定理，得5＝b2＋4－2×b×2×，解得b＝3.答案：37．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，则B＝________．解析：因为a2＝b2－c2＋ac，所以a2＋c2－b2＝ac，由余弦定理得cosB＝＝＝，又0°<B<180°，所以B＝45°.答案：45°8．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________．解析：设三角形的底边长为a，则周长为5a.所以等腰三角形的腰长为2a，设顶角为α，由余弦定理，得cosα＝＝.答案：9．用余弦定理证明：在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB.证明：∵bcosC＋ccosB＝b·＋c·＝＋＝＝a.∴在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB成立．10．在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断△ABC的形状．解：由余弦定理知cosA＝，cosB＝，cosC＝，代入已知条件得4
a·＋b·＋c·＝0，化简整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形．[B级 综合运用]11．(多选)在△ABC中，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值可能为( )A.B.C.D.解析：选BD ∵(a2＋c2－b2)tanB＝ac，∴·tanB＝，即cosB·tanB＝sinB＝.∵0<B<π，∴角B的值为或.12．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，则b＝________．解析：在△ABC中，由A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，知B＝60°，a＋c＝8，ac＝15，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝82－3×15＝19.∴b＝.答案：13．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝________，AC边上的高为________．解析：由余弦定理，可得cosA＝＝＝，又0<A<π，∴A＝，所以sinA＝.则AC边上的高h＝ABsinA＝3×＝.答案： 4
14．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，且2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长度．解：(1)cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－，又0°<C<180°，所以C＝120°.(2)因为a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，所以所以由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝b2＋a2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝(2)2－2＝10.所以AB＝.[C级 拓展探究]15．若AM是△ABC的边BC上的中线，求证：AM＝.证明：如图，设∠AMB＝α，则∠AMC＝180°－α.在△ABM中，由余弦定理，得AB2＝AM2＋BM2－2AM·BMcosα.在△ACM中，由余弦定理，得AC2＝AM2＋MC2－2AM·MCcos(180°－α)．因为cos(180°－α)＝－cosα，BM＝MC＝BC，所以AB2＋AC2＝2AM2＋BC2，从而AM＝.4
