用余弦定理、正弦定理解三角形(习题课)[A级 基础巩固]1．若三角形的两边长为3和5，其夹角的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则该三角形的面积是( )A．6 B.C．8D．10解析：选A 解方程5x2－7x－6＝0，得x＝－或x＝2(舍去)．设三角形边长为3，5的两边的夹角为α，则cosα＝－，sinα＝.故该三角形的面积S＝×3×5×＝6.2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b2＋c2－a2＝bc＝1，则△ABC的面积为( )A.B.C.D.解析：选C 由b2＋c2－a2＝bc及余弦定理得b2＋c2－a2＝2bccosA，可得bc＝2bccosA，即cosA＝，所以sinA＝.因为bc＝1，所以S＝bcsinA＝×1×＝，故选C.3．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为( )A.B．3C.D．7解析：选A 因为S△ABC＝AB·ACsinA，所以×2·ACsin60°＝.所以AC＝1.又BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝4＋1－2×2cos60°＝3.所以BC＝.4．已知△ABC的周长为20，面积为10，A＝60°，则BC边的长为( )A．5B．6C．7D．8解析：选C 由题知a＋b＋c＝20，bcsin60°＝10.所以bc＝40.a2＝b2＋c2－2bccos60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120.所以a＝7.即BC边的长为7.5．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，其面积S＝，则△ABC外接圆的半径为( )A.B．26
C．2D．4解析：选B 因为S＝bcsinA，所以＝×2csin120°.所以c＝2.所以a＝＝＝2.设△ABC外接圆的半径为R.所以2R＝＝＝4，所以R＝2.6．在△ABC中，a＝3，b＝2，cosC＝，则△ABC的面积为________．解析：因为cosC＝，0<C<π，所以sinC＝.所以S△ABC＝absinC＝×3×2×＝4.答案：47．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．解析：由2B＝A＋C，及A＋B＋C＝π知，B＝.在△ABD中，AB＝1，BD＝＝2，所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos＝3.因此AD＝.答案：8．在△ABC中，已知A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面积为10，则其周长为________．解析：设AB＝8k，AC＝5k，k>0，所以S△ABC＝AB·ACsinA＝10k2＝10.所以k＝1，AB＝8，AC＝5.由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝82＋52－2×8×5×＝49，所以BC＝7.所以△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝20.6
答案：209．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b＝，c＝1，cosB＝.(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积．解：(1)∵b＝，c＝1，cosB＝.∴sinB＝＝.∴由正弦定理可得sinC＝＝＝.(2)∵c<b，∴C为锐角，∴由(1)可得cosC＝＝.∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝×＋×＝，∴S△ABC＝bcsinA＝××1×＝.10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanA＝－，a＝2，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．解：(1)因为tanA＝－，所以A＝.在△ABC中，由余弦定理，得28＝4＋c2－4ccos，即c2＋2c－24＝0.解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.故△ABD面积与△ACD面积的比值为＝1.6
又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，所以△ABD的面积为.[B级 综合运用]11．在平行四边形ABCD中，AC＝，BD＝，周长为18，则平行四边形的面积是( )A．16B．17.5C．18D．18.5解析：选A 设平行四边形的两邻边AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α，则a＋b＝9，a2＋b2－2abcosα＝17，a2＋b2－2abcos(180°－α)＝65，解得a＝5，b＝4，cosα＝或a＝4，b＝5，cosα＝，所以S平行四边形ABCD＝absinα＝16.12．如图，在△ABC中，D是AC边上的点，且AB＝AD＝BD，BC＝2BD，则sinC的值是________．解析：设AB＝x，则AD＝x，BD＝x，BC＝x.在△ABD中，由余弦定理，得cosA＝＝，则sinA＝.在△ABC中，由正弦定理，得＝＝，解得sinC＝.答案：13.如图，若圆内接四边形的边长依次为25，39，52和60，则cosA＝________，该圆的直径长度为________．解析：由余弦定理得BD2＝392＋522－2×39×52cosC，BD2＝252＋602－2×25×60cosA，6
∵A＋C＝180°，∴cosC＝－cosA，即(392－252)－(602－522)＋2×39×52cosA＋2×25×60cosA＝0，∴cosA＝0.∵0°<A<180°，∴A＝90°，∴BD2＝392＋522＝652，∴BD＝65.答案：0 6514．在△ABC中，角A，B，C所对的边长是a，b，c，向量m＝(b，c)，且满足|m|2＝a2＋bc.(1)求角A的大小；(2)若a＝，求△ABC的周长的最大值．解：(1)∵m＝(b，c)，且|m|2＝a2＋bc，∴b2＋c2＝a2＋bc，由余弦定理，得cosA＝＝，∵0<A<π，因此A＝.(2)由a＝，A＝及余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－3×＝，∴(b＋c)2≤4a2＝12，∴b＋c≤2，当且仅当b＝c＝时，等号成立，因此，△ABC的周长的最大值为3.[C级 拓展探究]15．D为△ABC的边BC的中点，AB＝2AC＝2AD＝2.(1)求BC的长；(2)若∠ACB的平分线交AB于点E，求S△ACE.解：(1)由题意知AB＝2，AC＝AD＝1.设BD＝DC＝m.在△ADB与△ADC中，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.即1＋m2－2mcos∠ADB＝4，①1＋m2＋2mcos∠ADB＝1.②6
①＋②得m2＝，所以m＝，即BC＝.(2)在△ACE与△BCE中，由正弦定理得＝，＝，由于∠ACE＝∠BCE，且＝，所以＝＝.所以BE＝AE，所以AE＝(－1)．又cos∠BAC＝＝＝－，所以sin∠BAC＝，所以S△ACE＝AC·AE·sin∠BAC＝×1×(－1)×＝.6
