任意角[A级 基础巩固]1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )A．120° B．－120°C．240°D．－240°解析：选D 按顺时针方向旋转形成的角是负角，排除A、C；又由题意知旋转的角度是240°，排除B.故选D.2．设α＝－300°，则与α终边相同的角的集合为( )A．{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－60°，k∈Z}解析：选B 因为α＝－300°＝－360°＋60°，所以角α的终边与60°角的终边相同，故选B.3．(多选)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是( )A．α＋β＝90°B．α＋β＝180°C．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)D．α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)解析：选BD 假设α，β为0°～180°内的角，如图所示，因为α，β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝180°，所以B满足条件；结合终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)·180°(k∈Z)，所以D满足条件，A、C都不满足条件．4．在－720°～0°范围内所有与30°角终边相同的角为( )A．－330°B．－690°C．－690°或－330°D．－300°或－330°解析：选C 所有与30°角终边相同的角可表示为β＝30°＋k·360°(k∈Z)，则令－720°≤30°＋k·360°≤0°(k∈Z)，得－750°≤k·360°≤－30°(k∈Z)，解得≤k≤(k∈Z)，5
从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－690°或β＝－330°.故选C.5．若角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角α的终边在图中的位置(阴影部分)是( )解析：选C 当k＝2n，n∈Z时，n·360°＋45°≤α≤n·360°＋90°；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋225°≤α≤n·360°＋270°，故选C.6．已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________．解析：因为α与120°角终边相同，故有α＝k·360°＋120°，k∈Z.又因为－990°<α<－630°，所以－990°<k·360°＋120°<－630°，即－1110°<k·360°<－750°.当k＝－3时，α＝(－3)×360°＋120°＝－960°.答案：－960°7．已知角α＝－3000°，则与α终边相同的最小的正角是________．解析：与α角终边相同的角为β＝k·360°－3000°(k∈Z)．由题意，令k·360°－3000°>0°，则k>，故取k＝9，得与α终边相同的最小正角为240°.答案：240°8．(2021·上海南模中学高一月考)若α是第四象限角，则的终边所在的象限是第________象限．解析：∵α是第四象限角，∴270°＋360°·k<α<360°·k＋360°，∴135°＋180°·k<<180°·k＋180°，∴45°＋180°·k<－90°<180°·k＋90°.当k为偶数时，角的终边在第一象限，当k为奇数时，角的终边在第三角限．答案：一或三9．已知α＝－1845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角：(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－360°～720°之间的角．解：因为－1845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－5
45°＋k·360°，k∈Z}．(1)最小的正角为315°.(2)最大的负角为－45°.(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.10．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，得－<k<，又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，∴集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(2)∵集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，∴β＝120°＋k·360°，k∈Z.[B级 综合运用]11．如果角α与x＋45°的终边相同，角β与x－45°的终边相同，那么α与β的关系是( )A．α＋β＝0°B．α－β＝0°C．α＋β＝k·360°(k∈Z)D．α－β＝k·360°＋90°(k∈Z)解析：选D 由题意知α＝(x＋45°)＋k1·360°(k1∈Z)，β＝(x－45°)＋k2·360°(k2∈Z)，∴α－β＝(k1－k2)·360°＋90°＝k·360°＋90°(k∈Z)．12．(多选)(2021·重庆高一上月考)设α是第三象限角，则的终边所在的象限可能是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选BD 法一：如图所示，作各个象限的角平分线，标号Ⅲ所在的区域即为所在的区域，故选B、D.5
法二：由α是第三象限角得180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°，k∈Z，∴90°＋k·180°＜＜135°＋k·180°，k∈Z，当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)，则90°＋n·360°＜＜135°＋n·360°(n∈Z)，∴为第二象限角；当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则270°＋n·360°＜＜315°＋n·360°(n∈Z)，∴为第四象限角．∴为第二或第四象限角，故选B、D.13．已知角α，β都是锐角，且角α＋β的终边与－280°角的终边相同，角α－β的终边与670°角的终边相同，则α＝________，β＝________．解析：∵角α，β都是锐角，∴0°＜α＋β＜180°，－90°＜α－β＜90°.由题意可知，α＋β＝－280°＋k1·360°，k1∈Z，∴α＋β＝80°.①又α－β＝670°＋k2·360°，k2∈Z，∴α－β＝－50°.②由①②得，α＝15°，β＝65°.答案：15° 65°14．已知，如图所示．(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．解：(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．(2)阴影部分(包括边界)的角的集合可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋5
k·360°，k∈Z}．[C级 拓展探究]15．如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P在1秒内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限．解：根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上，∴45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z.又180°<2θ＋45°<270°，即67.5°<θ<112.5°，∴67.5°<<112.5°.又k∈Z，∴k＝3或4，∴所求的θ的值为或.∵0°<<90°，90°<<180°，∴θ在第一象限或第二象限．5
