等比数列的前n项和(建议用时：40分钟)一、选择题1．数列{2n－1}的前99项和为( )A．2100－1 B．1－2100C．299－1D．1－299C [数列{2n－1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S99＝＝299－1．]2．等比数列1，a，a2，a3，…(a≠0)的前n项和Sn＝( )A．B．C．D．C [当a＝1时，Sn＝n；当a≠1时，Sn＝．]3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝( )A．31 B．32 C．63 D．64C [法一：由(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，即144＝3(S6－15)，解得S6＝63．法二：由S4＝S2＋q2S2⇒15＝3＋3q2⇒q2＝4，所以S6＝S2＋q2S4＝3＋4×15＝63．]4．在等比数列{an}中，a3＝，其前三项的和S3＝，则数列{an}的公比q＝( )A．－B．C．－或1D．或1C [由题意，可得a1q2＝，a1＋a1q＋a1q2＝，两式相除，得＝3，解得q＝－或1．]5．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝( )A．3×44B．3×44＋1C．43D．43＋1A [已知an＋1＝3Sn，则当n≥2时，an＝3Sn－1，两式作差，得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)，即an＋1＝4an，也即数列从第2项起，是以a2＝3为首项，4为公比的等比数列，从而an＝3·4n－2，n≥2．5
由于a1＝1，则an＝于是a6＝3×44．]二、填空题6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．6 [∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6．]7．已知等比数列{an}的公比q＝，则＝________．3 [∵q＝，∴＝＝3．]8．在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝________．3或－4 [∵S3＝＝＝26，∴q2＋q－12＝0，∴q＝3或－4．]三、解答题9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn．[解] (1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，由于a1≠0，故2q2＋q＝0．又q≠0，从而q＝－．(2)由已知可得a1－a1＝3，故a1＝4．从而Sn＝＝．10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－an＝2，等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a4＋1．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Sn．[解] (1)由a1＝1，an＋1－an＝2得，an＝2n－1，b1＝1，b4＝8，所以公比q＝2，所以bn＝2n－1．(2)cn＝(2n－1)2n－1，Sn＝1·1＋3·2＋5·22＋…＋(2n－1)2n－1，2Sn＝1·2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)2n，上述两式作差得5
－Sn＝1＋2·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n－1－(2n－1)2n，即－Sn＝1＋2－(2n－1)2n，所以Sn＝3－2n(3－2n)．1．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第六个单音的频率为( )A．fB．fC．fD．fB [由题意知，十三个单音的频率构成等比数列{an}，公比为，∴第六个单音的频率a6＝a1·q5＝f．故选B．]2．(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝p，2Sn－Sn－1＝2p(n≥2，p为常数)，则下列结论正确的有( )A．{an}一定是等比数列B．当p＝1时，S4＝C．当p＝时，am·an＝am＋nD．|a3|＋|a8|＝|a5|＋|a6|BC [由a1＝p，2Sn－Sn－1＝2p①得，2(a2＋p)－p＝2p，故a2＝，则＝，当n≥2时，有2Sn－1－Sn－2＝2p②，由①－②得2an－an－1＝0，即＝，故当p≠0时，数列{an}为首项为p，公比为的等比数列；当p＝0时不是等比数列，故A错误；当p＝1时，S4＝＝，故B正确；当p＝时，an＝，则am·an＝＝am＋n，故C正确；当p≠0时，|a3|＋|a8|＝|p|＝|p|，而|a5|＋|a6|＝|p|＝|p|，故|a3|＋|a8|>|a5|＋|a6|，则D错误；故选BC．]5
3．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________．2 [设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，S2n＝，S奇＝．由题意得＝．∴1＋q＝3，∴q＝2．又当q＝1时，不合题意，∴公比q＝2．]4．如果数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________，数列{an}的前n项和Sn＝________．2n－1 2n＋1－n－2 [an－an－1＝a1qn－1＝2n－1，即相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，故an＝a1＋2n－2＝2n－1．其前n项和Sn＝－n＝2n＋1－n－2．]从①b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(n∈N*)，②{bn}为等差数列且b2＝2，2b1＋b5＝7，这两个条件中选择一个条件补充到问题中，并完成解答．问题：已知数列{an}，{bn}满足an＝2bn，且__________．(1)证明：数列{an}为等比数列；(2)若cm表示数列{bn}在区间(0，am)内的项数，求数列(cm)的前m项的和Tm．[解] (1)选择①，因为b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(n∈N*)，当n＝1时，b1＝1，当n≥2时，bn＝－＝n，n＝1时也成立，故bn＝n，所以an＝2n，＝＝2，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列．若选择②，设数列{bn}公差为d，由题意得得bn＝n，所以an＝2n，所以＝＝2．所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)若选择条件①，则an＝2n，所以c1对应的区间为(0，2)，则c1＝1；c2对应的区间为(0，4)，则c2＝3；5
c3对应的区间为(0，8)，则c3＝7；……；cm对应的区间为(0，2m)，则cm＝2m－1；所以Tm＝21－1＋22－1＋…＋2m－1＝－m＝2m＋1－2－m．若选择条件②，则an＝2n，所以c1对应的区间为(0，2)，则c1＝1；c2对应的区间为(0，4)，则c2＝3；c3对应的区间为(0，8)，则c3＝7；……；cm对应的区间为(0，2m)，则cm＝2m－1；所以Tm＝21－1＋22－1＋…＋2m－1＝(1－2m)－m＝2m＋1－2－m．5
