第一章 集合与常用逻辑用语本章复习提升易混易错练易错点1 忽略集合中元素的互异性致错1.()已知集合M={a,|a|,a-2}.若2∈M,则实数a的值为( ) A.-2B.±2C.2或4D.±2或42.()已知集合P={x|-1≤x≤1},M={-a,a}.若P∪M=P,则实数a的取值范围是( )A.{a|-1≤a≤1}B.{a|-1<a<1}C.{a|-1<a<1且a≠0}D.{a|-1≤a≤1且a≠0}3.(2019湖北武汉月考,)设a∈R,若全集U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},∁UA={5},则实数a的值为 . 4.()设集合A={(x-1)2,7x-3,5},B={25,6x+1,5x+9},若A∩B={25},求A∪B.易错点2 对集合中元素的意义理解错误5.(多选)(2020江西南昌第二中学高一上月考,)方程组x+y=3,x-y=-1的解集可表示为( )A.{1,2}B.(1,2)C.{(x,y)|x=1,y=2}D.(x,y)x+y=3x-y=-16.()已知集合M={x|y=x2+2x+4},N={y|y=2x2+2x+3},则M∩N= . 7.()集合A={(x,y)|y=-x2+6,x∈N,y∈N},用列举法可表示为 . 8.()已知集合A={y|y=x2-2x,x∈R},B={y|y=-x2+2x+6,x∈R}.(1)求A∩B;10
(2)若集合A,B中的元素都为整数,求A∩B;(3)若集合A变为A={x|y=x2-2x,x∈R},其他条件不变,求A∩B.易错点3 忽略空集的存在致错9.()已知集合M={-1,2},N={x|ax+1=0},若N⊆M,则实数a的所有可能取值的集合为( )A.1,-12B.-1,12C.-1,0,12D.-12,0,110.()设全集U=R,A={x|x<0},B={x|2a<x<a+3},且B⊆∁UA,求实数a的取值范围.易错点4 混淆充分条件与必要条件导致错误11.()已知集合A={x|0≤16x-7≤25},B={x|x+m2≥1},p:x∈A,q:x∈B,且p是q的充分条件,求实数m的取值范围.10
思想方法练一、分类讨论思想在集合问题中的运用1.(2020广东佛山南海一中高一上月考,)已知集合A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B⊆A,则实数a的取值范围是 . 2.()已知由方程kx2-8x+16=0的解组成的集合A只有一个元素,求实数k的值.3.()设全集U=R,A={x|1≤x≤3},B={x|2a<x<a+3}.(1)当a=1时,求(∁UA)∩B;(2)若(∁UA)∩B=B,求实数a的取值范围.10
二、数形结合思想在集合问题中的运用4.()设U为全集,集合M,N满足M⫋N⫋U,则下列集合中,一定为空集的是( ) A.M∩(∁UN)B.N∩(∁UM)C.(∁UM)∩(∁UN)D.M∩N5.(2021新高考八省(市)1月联考,)已知M,N均为R的子集,且∁RM⊆N,则M∪(∁RN)=( )A.⌀B.MC.ND.R6.()若全集U=R,A={x|x<-3或x≥2},B={x|-1<x<5},则集合C={x|-1<x<2}= (用A,B或其补集表示). 7.(2020上海华东师范大学第二附属中学高一上月考,)调查班级40名学生对A,B两事件的态度,有如下结果:赞成A的人数是全体的35,其余的不赞成;赞成B的比赞成A的多3人;另外,对A,B都不赞成的学生数比对A,B都赞成的学生数的13多1人,则对A,B都赞成的学生有 人. 8.()已知全集U={不大于20的素数},M,N为U的两个子集,且满足M∩(∁UN)={3,5},(∁UM)∩N={7,19},(∁UM)∩(∁UN)={2,17},求集合M,N.三、函数与方程思想在集合问题中的应用10
9.(2020浙江金华曙光学校高一上第一次阶段考试,)已知集合A={m+1,(m-1)2},若1∈A,则集合A的子集有 个. 10.()已知集合A={x|x2-3x+a=0},若4∈A,求集合A.四、正难则反——补集思想在集合问题中的运用11.()已知集合A={x|x2-2x+9-a=0},B={x|ax2-4x+1=0},若集合A,B中至少有一个非空集合,求实数a的取值范围.10
答案全解全析第一章 集合与常用逻辑用语 本章复习提升易混易错练1.A2.D5.CD9.D1.A 由2∈M得a=2或|a|=2或a-2=2,解得a=±2或4,又由集合中元素的互异性检验得a=-2.故选A.2.D 由P∪M=P得M⊆P,所以-a∈P,a∈P,即-1≤-a≤1,且-1≤a≤1,解得-1≤a≤1,又因为-a≠a,所以a≠0.故选D.3.答案 2解析 ∵∁UA={5},∴5∈U且A={2,3},∴a2+2a-3=5且|2a-1|=3,解得a=2.4.解析 由A∩B={25}得25∈A,所以(x-1)2=25或7x-3=25,解得x=6或x=-4或x=4.当x=6时,A={25,39,5},B={25,37,39},A∩B={25,39},不满足题意,故x=6舍去;当x=-4时,A={25,-31,5},B={25,-23,-11},A∩B={25},满足题意,此时A∪B={25,-31,5,-23,-11};当x=4时,B中元素不满足集合中元素的互异性,故x=4舍去.综上,A∪B={25,-31,5,-23,-11}.易错警示求解此类问题时,注意集合中的元素必须是互异的,所以求解集合中的参数问题时,最后一定要验证集合中元素的互异性.5.CD 方程组x+y=3,x-y=-1的解为x=1,y=2.根据集合的表示方法可知方程组x+y=3,x-y=-1的解集可表示为{(x,y)|x=1,y=2}或(x,y)x+y=3x-y=-1.6.答案 yy≥52解析 因为M=R,N=yy=2x+122+52=yy≥52,所以M∩N=yy≥52.10
7.答案 A={(0,6),(1,5),(2,2)}解析 由y=-x2+6,x∈N,y∈N得x=0,y=6或x=1,y=5或x=2,y=2.故A={(0,6),(1,5),(2,2)}.8.解析 (1)∵x2-2x=(x-1)2-1≥-1,-x2+2x+6=-(x-1)2+7≤7,∴A={y|y≥-1},B={y|y≤7},∴A∩B={y|-1≤y≤7}.(2)结合(1)知A∩B={y∈Z|-1≤y≤7},∴A∩B={-1,0,1,2,3,4,5,6,7}.(3)由题意得A=R,而B={y|y≤7},∴A∩B={y|y≤7}.9.D 因为N⊆M,所以当N=⌀,即a=0时,满足条件;当N≠⌀时,由ax+1=0得x=-1a,则-1a∈M,所以-1a=-1或-1a=2,即a=1或a=-12.综上,a=-12或a=1或a=0.故选D.10.解析 由已知得∁UA={x|x≥0},当B=⌀时,2a≥a+3,即a≥3,符合题意;当B≠⌀时,由B⊆∁UA得a+3>2a,2a≥0,解得0≤a<3.综上,实数a的取值范围为{a|a≥0}.11.解析 由0≤16x-7≤25,得716≤x≤2,∴A=x|716≤x≤2.由x+m2≥1,得x≥1-m2,∴B={x|x≥1-m2}.∵p是q的充分条件,∴A⊆B,∴1-m2≤716,解得m≥34或m≤-34,∴实数m的取值范围是mm≥34或m≤-34.思想方法练10
1.答案 {a|a<-4或a>2}解析 当B=⌀时,2a>a+3,即a>3,符合题意;当B≠⌀时,根据题意作出如图所示的数轴,可得a+3≥2a,a+3<-1,或a+3≥2a,2a>4,解得a<-4或2<a≤3.分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论.综上,实数a的取值范围为{a|a<-4或a>2}.2.解析 当k=0时,原方程变为-8x+16=0,解得x=2,此时集合A中只有一个元素2,符合题意;当k≠0时,要使一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等的实数根,需Δ=64-64k=0,即k=1.此时方程的解为x1=x2=4,集合A中只有一个元素4,符合题意.分k=0和k≠0两种情况讨论.综上,k=0或k=1.3.解析 (1)当a=1时,B={x|2<x<4},又∁UA={x|x<1或x>3},∴(∁UA)∩B={x|3<x<4}.(2)∵(∁UA)∩B=B,∴B⊆∁UA.当B=⌀时,2a≥a+3,解得a≥3,此时B⊆∁UA,符合题意;当B≠⌀时,若B⊆∁UA,则2a<a+3,a+3≤1或2a<a+3,2a≥3,解得a≤-2或32≤a<3.综上,实数a的取值范围是aa≤-2或a≥32.4.A 由已知条件画出维恩图如图,可知M∩(∁UN)=⌀.故选A.5.B 根据题意可画出维恩图如图所示.10
则M∪(∁RN)=M.故选B.6.答案 B∩(∁UA)解析 如图所示,由图可知,C⊆∁UA,且C⊆B,所以C=B∩(∁UA).借助图形的直观性理解集合间的关系.7.答案 18解析 赞成A的人数为40×35=24,赞成B的人数为24+3=27,设对A,B都赞成的学生人数为x,则13x+1+27-x+x+24-x=40,解得x=18.8.解析 由题意得U={2,3,5,7,11,13,17,19},如图,∴M={3,5,11,13},N={7,11,13,19}.9.答案 4解析 由1∈A,可得m+1=1或(m-1)2=1,解得m=0或m=2.当m=0时,m+1=(m-1)2=1,不满足集合中元素的互异性,舍去;当m=2时,A={3,1},此时集合A的子集的个数为22=4.10.解析 由4∈A得42-3×4+a=0,解得a=-4,所以x2-3x+a=0为x2-3x-4=0,解得x=4或x=-1,所以集合A={4,-1}.11.解析 当A,B都为空集时,Δ1=4-4(9-a)<0,a≠0,Δ2=16-4a<0,解得4<a<8.10
设M={a|4<a<8},其在R上的补集∁RM={a|a≤4或a≥8},所以所求实数a的取值范围是{a|a≤4或a≥8}.思维拓展当正面情况较多或较复杂时,从其反面入手是简化问题的一种常用手段,也就是正难则反.10
