平面向量基本定理 (15分钟 30分)1.锐角三角形ABC中,下列说法正确的是( )A.与的夹角是锐角B.与的夹角是锐角C.与的夹角是钝角D.与的夹角是锐角【解析】选B.由两向量的夹角定义知,与的夹角是180°-∠B,与的夹角是∠A,与的夹角是∠C,与的夹角是180°-∠C,只有B正确.2.若G是△ABC的重心,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则++等于( )A.6B.-6C.-6D.0【解析】选D.令=a,=b,则=-=-=-(a+b),=-=-=-=-b+a,=-=-=-=-a+b,所以++=-a-b-b+a-a+b=0.3.已知向量a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1、e2不共线,则a+b与c=6e1-2e2的关系是( )A.不共线 B.共线 C.相等 D.不确定【解析】选B.因为a+b=3e1-e2,所以c=2(a+b).所以a+b与c共线.4.(2020·枣庄高一检测)设a,b是两个不共线向量,已知=2a+kb,=a+b,=2a-b,若A、B、D三点共线,则k= . 【解析】因为=a+b,=2a-b,所以=-=(2a-b)-(a+b)=a-2b.因为A、B、D三点共线,所以=λ,5
所以2a+kb=λ(a-2b)=λa-2λb.又a,b是两个不共线向量.所以,所以k=-4.答案:-45.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN交于点P,求AP∶PM的值.【解析】设=e1,=e2,则=+=-3e2-e1,=+=2e1+e2.因为A,P,M和B,P,N分别共线,所以存在实数λ,μ,使=λ=-λe1-3λe2,=μ=2μe1+μe2,所以=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.又=+=2e1+3e2,所以解得所以=,即AP∶PM=4∶1. (20分钟 40分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是( )A.B.C.D.5
【解析】选D.依题意,设=λ,其中1<λ<,则有=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ.又=x+(1-x),且,不共线,于是有x=1-λ∈,即x的取值范围是.2.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=( )A.2B.4C.5D.7【解析】选B.以如图所示的两个互相垂直的单位向量e1,e2为基底,则a=-e1+e2,b=6e1+2e2,c=-e1-3e2,因为c=λa+μb(λ,μ∈R),所以-e1-3e2=λ(-e1+e2)+μ(6e1+2e2)=(-λ+6μ)e1+(λ+2μ)e2,所以解得所以=4.3.(2020·汉中高一检测)已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么( )A.k=-1且c与d反向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=1且c与d同向【解析】选A.因为c∥d,所以存在实数λ,使得c=λd,即ka+b=λ(a-b)=λa-λb.又a,b不共线,所以所以λ=k=-1,c=-d,故c与d反向.4.如图,在△ABC中,M为边BC上不同于B,C的任意一点,点N满足=2.若=x+y,则x2+9y2的最小值为( )5
A.B.C.D.【解析】选C.根据题意,得==x+y.因为M,B,C三点共线,所以有x+y=1,即x+y=,所以x2+9y2=+9y2=10y2-y+=10+,所以当y=时,x2+9y2取得最小值.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2020·东营高一检测)如图,平面内有三个向量、、,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=2,若=λ+μ(λ、μ∈R),则λ+μ= . 【解析】如图,利用向量加法的平行四边形法则,=+=4+2,所以λ=4,μ=2.所以λ+μ=6.答案:66.已知向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,c=a+b,c⊥a,则a,b的夹角等于 . 【解析】作=a,=b,则c=a+b=(如图所示),则a,b夹角为180°-∠C.因为|a|=1,|b|=2,c⊥a,所以∠C=60°,所以a,b的夹角为120°.答案:120°三、解答题7.(10分)设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.5
(1)证明:a,b可以作为一组基底.(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式.(3)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值.【解析】(1)若a,b共线,则存在λ∈R,使a=λb,则e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共线,得⇒所以λ不存在,故a与b不共线,可以作为一组基底.(2)设c=ma+nb(m,n∈R),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以⇒所以c=2a+b.(3)由4e1-3e2=λa+μb,得4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)=(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2.所以⇒故所求λ,μ的值分别为3和1.5
