武汉市实验学校2022－2022学年度下学期期末考试高二（理科）数学试卷一、选择题（每题5分，共50分）1.过点(0,2)与抛物线只有一个公共点的直线有()A.1条B.2条C.3条D.无数条.2．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅.”结论显然是错误的，是因为（）．A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误3.一质点做直线运动,由始点起经过ts后的距离为s=t4-4t3+16t2,则速度为零的时刻是（）A.4s末B.8s末C.0s与8s末D.0s,、4s，,8s末4、若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b,则()A.x=1,y=1B.x=，y=C.x=，y=D.x=－，y=5．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）A．B．C．D．6、双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则n的值为（）A、1B、4C、8D、127、对于上可导的任意函数，若满足，则必有（）A．B.C.D.8．设在内单调递增，，则是的（ ）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件9、设函数在定义域内可导，的图象如下左图所示，则导函数的图象可能是5\nA．B．C．D．10．定义域为R的函数且，则满足的x的集合为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，共25分）11、设平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2,3,1)垂直，则平面α与β位置关系是________．12、过点P(-2,-4)的抛物线的标准方程为___________________________13、．设，试通过计算来猜想的解析式：_________________________．14、设函数，若关于的方程至少有两个不同实根，则的取值范围是______________15、下列命题正确的是_______________________________（1）已知（2）不存在实数，使成立（3）命题p：对任意的，则：对任意的（4）若p或q为假命题,则p,q均为假命题三、解答题(共75分)16、设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，sin2x＋m)．(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；(6分)5\n(2)当x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求m的值．（6分）5\n17、如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；（6分）(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值．(6分)18、已知曲线f(x)=ax2＋2在x=1处的切线与2x-y+1=0平行(1)求f(x)的解析式（6分）(2)求由曲线y=f(x)与，，x=1所围成的平面图形的面积。（6分）19、在数列中，，且.(1)求;（5分）(2)猜想的表达式，并加以证明；（7分）5\n20、已知椭圆C1：＋＝1(0＜b＜2)的离心率为，抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点是椭圆的顶点．(1)求抛物线C2的方程；(6分)(2)过点M(－1,0)的直线l与抛物线C2交于E，F两点，过E，F作抛物线C2的切线l1，l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程．(7分)21、已知函数f(x)＝x2－8lnx，g(x)＝－x2＋14x.(1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；（4分）(2)若函数f(x)与g(x)在区间(a，a＋1)上均为增函数，求a的取值范围；（4分）(3)若方程f(x)＝g(x)＋m有唯一解，试求实数m的值．（6分）5\n武汉市实验学校2022－2022学年度下学期期末考试高二（理科）数学答题卡总分：150分时间：120分钟命题人：黄新平2022.6.28题号一二三总分161718192021得分一、选择题.(每5分,共10题,共50分)题号12345678910答案二、填空题.(每5分,共7题,共35分)11． 12． 13． 14．15． 三、解答题.(共75分)16．(12分)(1)(2)高二(下)数学（理科）期末试卷第12页共8页\n17．(12分)(1)(2)18．(12分)(1)(2)高二(下)数学（理科）期末试卷第12页共8页\n19．(12分)(1)(2)20．(13分)(1)(2)高二(下)数学（理科）期末试卷第12页共8页\n21．(14分)(1)(2)(3)高二(下)数学（理科）期末试卷第12页共8页\n武汉市实验学校高二下学期期末测试题参考答案一、选择题（每题5分，共50分）CCDCADCBAB二、填空题（每题5分，共25分）11、． 垂直12、1314、[3,7]15(2)(4)三、解答题16、解析 ∵(1)f(x)＝2cos2x＋sin2x＋m＝2sin(2x＋)＋m＋1，∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π.在[0，π]上的单调递增区间为[0，]，[，π]．(2)当x∈[0，]时，∵f(x)单调递增，∴当x＝时，f(x)取得最大值为m＋3，即m＋3＝4，解之得m＝1，∴m的值为1.17、解：以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)．设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E(a，，0)，P(0,0，a)，F(，，)．(1)证明：∵·＝(－，0，)·(0，a,0)＝0，∴⊥，∴EF⊥CD.(2)设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，由，得，即，取x＝1，则y＝－2，z＝1，∴n＝(1，－2,1)，∴cos〈，n〉＝＝＝－.高二(下)数学（理科）期末试卷第12页共8页\n设DB与平面DEF所成角为θ，则sinθ＝.（1）18、解：（1）由已知得：f'(1)=2,求得a=1f(x)=x2+2（2）19、解：（1）容易求得：，.故可以猜想.下面利用数学归纳法加以证明：（2）证明①显然当时，结论成立；②假设当时（也可以），结论也成立，即；那么当时，由题设与归纳假设可知，.即当时，结论也成立.综上，对,成立.20、解：(1)∵椭圆C1的长半轴长a＝2，半焦距c＝.由e＝＝＝得b2＝1，高二(下)数学（理科）期末试卷第12页共8页\n∴椭圆C1的上顶点为(0,1)，即抛物线C2的焦点为(0,1)，故抛物线C2的方程为x2＝4y.(2)由已知可得直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)．由x2＝4y得y＝x2，∴y′＝x.∴切线l1，l2的斜率分别为x1，x2.当l1⊥l2时，x1·x2＝－1，即x1x2＝－4.由得x2－4kx－4k＝0，∴Δ＝(4k)2－4×(－4k)＞0，解得k＜－1或k＞0.①且x1x2＝－4k＝－4，即k＝1，满足①式，∴直线l的方程为x－y＋1＝0.21、解 (1)因为f′(x)＝2x－，所以切线的斜率k＝f′(1)＝－6.又f(1)＝1，故所求的切线方程为y－1＝－6(x－1)．即y＝－6x＋7.(2)因为f′(x)＝，又x>0，所以当x>2时，f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0.即f(x)在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g(x)＝－(x－7)2＋49，所以g(x)在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，欲使函数f(x)与g(x)在区间(a，a＋1)上均为增函数，则，解得2≤a≤6.(3)原方程等价于2x2－8lnx－14x＝m，令h(x)＝2x2－8lnx－14x，则原方程即为h(x)＝m.因为当x>0时原方程有唯一解，所以函数y＝h(x)与y＝m的图象在y轴右侧有唯一的交点．又h′(x)＝4x－－14＝，且x>0，所以当x>4时，h′(x)>0；当0<x<4时，h′(x)<0.即h(x)在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h(x)在x＝4处取得最小值，从而当x>0时原方程有唯一解的充要条件是m＝h(4)＝－16ln2－24.高二(下)数学（理科）期末试卷第12页共8页
