期末达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是( )A．(3，4)B．(－3，4)C．(3，－4)D．(－3，－4)2．已知∠α为锐角，且cosα＝，则∠α等于( )A．30°B．45°C．60°D．90°3．将抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得的抛物线的函数表达式是( )A．y＝(x－2)2－1B．y＝(x－2)2＋1C．y＝(x＋2)2＋1D．y＝(x＋2)2－14．【教材P80随堂练习T1变式】如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA＝50°，则∠C的度数为( )A．30°B．40°C．50°D．80°5．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为( )A．B．C．D．13
6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列说法错误的是( )A．图象关于直线x＝1对称B．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最小值是－4C．－1和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根D．当x＜1时，y随x的增大而增大7．【教材P96习题T1改编】如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B，C是弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E.若△PDE的周长为12，则PA的长等于( )A．12B．6C．8D．108．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是( )A．10 B．8C．4D．29．如图，客轮在海上以30km/h的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80°，测得C处的方位角为南偏东25°，航行1h后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东20°，则C到A的距离是( )A．15kmB．15kmC．15(＋)kmD．5(3＋)km10．如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过点A的切线交于点B，且∠APB＝60°，设OP＝x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是( )13
二、填空题(每题3分，共24分)11．如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，若∠A＝30°，则∠AOB＝________°.12．二次函数y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是______________．13．若二次函数y＝x2－4x＋h的图象与x轴只有一个公共点，则实数h＝________.14．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB＝________．15．如图，某公园入口处有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为了方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1∶5，则AC的长度是________cm.13
16．已知正三角形ABC的外接圆的半径长为R，那么△ABC的周长是________(用含R的式子表示)．17．【教材P26复习题T17变式】如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6m，则旗杆AB的高度为________m.18．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A，B两点分别作PE的垂线AC，BD，垂足分别为C，D，连接AM，下列结论正确的是______________________(写出所有正确结论的序号)．①AM平分∠CAB；②AM2＝AC·AB；③若AB＝4，∠APE＝30°，则长为；④若AC＝3，BD＝1，则CM＝DM＝.三、解答题(19，20题每题8分，21题10分，22题12分，23，24题每题14分，共66分)19．计算：2sin30°－3tan45°·sin45°＋4cos60°.13
20．【教材P16例1变式】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且∠B＝45°，c＝.求这个三角形的其他元素．21．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(5，0)，点A在第一象限，且OA＝OB，sin∠AOB＝.(1)求经过O，A，B三点的抛物线对应的函数表达式；(2)若反比例函数y＝的图象经过(1)中的抛物线的顶点，求k的值．22．新欣商场经营某种新型电子产品，购进时的单价为20元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售单价为40元/件时，销售量为200件，销售单价每件降低1元，就可多售出20件．(1)写出销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式．(2)写出销售该产品所获利润W(元)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式，并求出商场获得的最大利润．13
(3)若商场想获得不低于4000元的利润，同时要完成不少于320件的该产品销售任务，则该商场应该如何确定该产品的销售单价？23．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC＝∠BAC.(1)求证：EF是⊙O的切线．(2)求证：AC2＝AD·AB.(3)若⊙O的半径为2，∠ACD＝30°，求图中阴影部分的面积．24．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为，且与y轴交于点C(0，2)，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)．(1)求抛物线的表达式及A，B两点的坐标．(2)在(1)中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP＋CP的值最小？若存在，求出AP＋CP的最小值；若不存在，请说明理由．(3)在以AB为直径的⊙M中，CE与⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的表达式．13
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答案一、1．A 2．A 3．A 4．B 5．D 6．D7．B 8．D9．D 点拨：过点B作BD⊥AC于点D.由题意易知：∠ABC＝75°，∠BCD＝45°，BC＝30km，则CD＝BD＝15km，∠DBA＝75°－45°＝30°，∴AD＝BD·tan30°＝15×＝5(km)．∴AC＝CD＋AD＝15＋5＝5(3＋)km. 10．D二、11．60 12．－3＜x＜1 13．414．2cm15．210 点拨：过点B作BD⊥AC于点D，则AD＝2×30＝60(cm)，BD＝18×3＝54(cm)．由斜坡BC的坡度i＝1∶5，得CD＝5BD＝5×54＝270(cm)，∴AC＝CD－AD＝270－60＝210(cm)．16．3R 点拨：如图，连接OA，OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D.∵正三角形ABC的外接圆的半径为R，∴OA＝OB＝OC＝R，∠ABC＝60°，∴∠OBD＝30°.在Rt△BOD中，BD＝OB·cos∠OBD＝R·cos30°＝R.∵OD⊥BC，∴BC＝2BD＝R.∴△ABC的周长为3R.17．14.4 点拨：过点D作DE⊥AB于点E，如图，则∠AED＝90°，则易得四边形BCDE是矩形．13
∴BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°. ∴∠ADC＝90°＋30°＝120°.∵∠ACB＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠CAD＝30°＝∠ACD.∴AD＝CD＝9.6m.在Rt△ADE中，∵∠ADE＝30°，∠AED＝90°， ∴AE＝AD＝4.8(m)．∴AB＝AE＋BE＝4.8＋9.6＝14.4(m)．18．①②④三、19．解：原式＝2×－3×1×＋4×＝3－.20．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝45°，∴∠A＝90°－∠B＝45°．∴a＝b.∵c＝，a2＋b2＝c2，∴a＝b＝.21．解：(1)由题意得OA＝OB＝5.如图，过点A作AH⊥x轴于点H，则AH＝OA·sin∠AOB＝3，∴OH＝4.∴A(4，3)．13
设经过O，A，B三点的抛物线对应的函数表达式为y＝ax(x－5)．把点A(4，3)的坐标代入y＝ax(x－5)，得3＝4a(4－5)，解得a＝－.∴经过O，A，B三点的抛物线对应的函数表达式为y＝－x(x－5)，即y＝－x2＋x.(2)∵y＝－x2＋x＝－×＋，∴抛物线的顶点坐标为.∵反比例函数y＝的图象经过该抛物线的顶点，∴k＝×＝.22．解：(1)y＝200＋20(40－x)＝1000－20x. (2)W＝(x－20)(1000－20x)＝－20x2＋1400x－20000＝－20(x－35)2＋4500.∵－20<0，∴当x＝35时，W有最大值，最大值为4500.∴W＝－20(x－35)2＋4500，商场获得的最大利润是4500元．(3)当W＝4000时，即(x－20)(1000－20x)＝4000，解得x1＝30，x2＝40.∴当30≤x≤40时，商场销售利润不低于4000元．又∵1000－20x≥320，解得x≤34，∴30≤x≤34.∴该商场确定该产品的销售单价x(元/件)应该为30≤x≤34.23．(1)证明：连接OC.∵AD⊥EF，∴∠ADC＝90°.∴∠ACD＋∠CAD＝90°.∵OC＝OA，13
∴∠ACO＝∠CAO.∵∠DAC＝∠BAC，∴∠ACD＋∠ACO＝90°，即∠OCD＝90°.∴EF是⊙O的切线．(2)证明：连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵AD⊥EF，∴∠ADC＝90°＝∠ACB.又∵∠DAC＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC.∴＝，即AC2＝AD·AB.(3)解：由(1)知∠ACD＋∠ACO＝90°.∵∠ACD＝30°，∴∠OCA＝60°.又∵OC＝OA，∴△ACO是等边三角形．∴AC＝OC＝2，∠AOC＝60°.在Rt△ADC中，∵∠ACD＝30°，AC＝2，∴AD＝1，CD＝.∴S阴影＝S梯形OCDA－S扇形COA＝(1＋2)×－＝－.24．解：(1)由题意可写出抛物线的表达式为y＝a(x－4)2－(a≠0)．∵抛物线经过点C(0，2)，∴a(0－4)2－＝2，解得a＝.13
∴y＝(x－4)2－，即y＝x2－x＋2.当y＝0时，x2－x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝6，∴A(2，0)，B(6，0)．(2)存在．由(1)知抛物线的对称轴l为直线x＝4.易知A，B两点关于l对称，连接CB交l于点P，连接AP，此时AP＋CP的值最小．∵AP＝BP，∴AP＋CP＝BC.∵B(6，0)，C(0，2)，∴OB＝6，OC＝2.∴BC＝＝2.∴AP＋CP的最小值为2.(3)连接ME.∵CE是⊙M的切线，∴CE⊥ME.∴∠CEM＝90°.∴∠COD＝∠DEM＝90°.由题意得OC＝ME＝2，∠ODC＝∠MDE，∴△COD≌△MED(AAS)．∴OD＝DE，DC＝DM.设OD＝x，则CD＝DM＝OM－OD＝4－x.在Rt△COD中，OD2＋OC2＝CD2，∴x2＋22＝(4－x)2，解得x＝.∴D.设直线CE的表达式为y＝kx＋d(k≠0)．13
∵直线CE过C(0，2)，D两点，∴解得∴直线CE的表达式为y＝－x＋2.13
