第一节 函数及其图象1.命题角度1[2022原创]如图,矩形OABC的顶点O与原点重合,点A,C分别在x轴,y轴上,点B的坐标为(-5,4),点D为边BC上一动点,连接OD,若线段OD绕点D顺时针旋转90°后,点O恰好落在AB边上的点E处,则点E的坐标为( ) A.(-5,3)B.(-5,4)C.(-5,52)D.(-5,2)2.[2022四川泸州二模]小刚以400m/min的速度匀速骑车5min,在原地休息了6min,然后以500m/min的速度骑回出发地.下列函数图象能表达这一过程的是( )3.命题角度2[2022四川攀枝花]如图,点A的坐标为(0,1),点B是x轴正半轴上的一动点,以AB为边作Rt△ABC,使∠BAC=90°,∠ACB=30°,设点B的横坐标为x,点C的纵坐标为y,能表示y与x的函数关系的图象大致是( )4.[2022广东广州]在平面直角坐标系中,一个智能机器人接到如下指令:从原点O出发,按向右、向上、向右、向下的方向依次移动,每次移动1m,其移动路线如图所示,第1次移动到点A1,第2次移动到点A2……第n次移动到点An,则△OA2A2018的面积是( )13\nA.504m2 B.10092m2C.10112m2D.1009m25.命题角度2[2022山东潍坊中考改编]如图(1),菱形ABCD中,∠B=60°,动点P以1cm/s的速度从点A出发沿AB方向运动至点B停止,动点Q以2cm/s的速度从点B出发沿折线BCD运动至点D停止.若点P,Q同时出发,运动了ts,记△BPQ的面积为Scm2,且S与t之间的函数关系的图象如图(2)所示,则图象中a的值为 . 图(1) 图(2)第二节 一次函数的图象与性质1.命题角度2[2022湖南常德]若一次函数y=(k-2)x+1的函数值y随x的增大而增大,则( ) A.k<2B.k>2C.k>0D.k<02.命题角度1[2022陕西]如图,在矩形AOBC中,A(-2,0),B(0,1).若正比例函数y=kx的图象经过点C,则k的值为( )A.-12B.12C.-2D.23.命题角度2[2022湖南湘潭中考改编]若kb>0,则一次函数y=kx+b的图象可能是( ) A B C D13\n4.命题角度2[2022湖北荆州]已知:将直线y=x-1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b,则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是( )A.经过第一、二、四象限 B.与x轴交于(1,0)C.与y轴交于(0,1) D.y随x的增大而减小5.命题角度3[2022湖南邵阳]如图,一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点(2,0),与y轴相交于点(0,4).结合图象可知,关于x的方程ax+b=0的解是 . 6.命题角度3[2022甘肃白银]如图,一次函数y=-x-2与y=2x+m的图象相交于点P(n,-4),则关于x的不等式组2x+m<-x-2,-x-2<0的解集为 . 7.[2022原创]如图,点A(-2,a),C(3a-10,1)是反比例函数y=mx(x<0)图象上的两点.(1)求m的值;(2)过点A作AP⊥x轴于点P,若直线y=kx+b经过点A,且与x轴交于点B,求当∠PAB=∠PAC时,直线AB的解析式.第三节 一次函数的实际应用1.命题角度1[2022四川成都]为了美化环境,建设宜居成都,我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉.经市场调查,甲种花卉的种植费用y(元)与种植面积x(m2)之间的函数关系如图所示,乙种花卉的种植费用为100元/m2.(1)请直接写出当0≤x≤300和x>300时,y与x的函数关系式;13\n(2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2,如果甲种花卉的种植面积不少于200m2,且不超过乙种花卉种植面积的2倍,那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少?最少总费用为多少元?2.命题角度2[2022天津]某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式.方式一:先购买会员证,每张会员证100元,只限本人当年使用,凭证游泳每次付费5元;方式二:不购买会员证,每次游泳付费9元.设小明计划今年夏季游泳次数为x(x为正整数).(Ⅰ)根据题意,填写下表:游泳次数101520…x方式一的总费用/元150175…方式二的总费用/元90135…(Ⅱ)若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元,则选择哪种付费方式,他游泳的次数比较多?(Ⅲ)当x>20时,小明选择哪种付费方式更合算?请说明理由.第四节 反比例函数1.命题角度1[2022广西梧州中考改编]已知正比例函数y=ax(a≠0)与反比例函数y=kx(k≠0)的图象的一个交点坐标为(2,4),则它们的另一个交点的坐标是( ) A.(2,-4) B.(-2,-4)C.(-2,4) D.(4,2)2.命题角度1[2022黑龙江大庆]在同一直角坐标系中,函数y=kx和y=kx-3的图象大致是( ) A B C D3.命题角度1[2022天津]若点A(x1,-6),B(x2,-2),C(x3,2)在反比例函数y=12x的图象上,则x1,x2,x3的大小关系是( )A.x1<x2<x3B.x2<x1<x3C.x2<x3<x1D.x3<x2<x113\n4.命题角度2[2022浙江舟山]如图,点C在反比例函数y=kx(x>0)的图象上,过点C的直线与x轴、y轴分别交于点A,B,且AB=BC,△AOB的面积为1,则k的值为( )A.1B.2C.3D.45.命题角度2[2022湖北随州]如图,一次函数y=x-2的图象与反比例函数y=kx(k>0)的图象相交于A,B两点,与x轴交于点C,若tan∠AOC=13,则k的值为 . 6.命题角度3[2022洛阳二模]如图,反比例函数y=-4x的图象与直线y=-13x的交点为A,B,过点A作y轴的平行线,过点B作x轴的平行线,两线相交于点C,则△ABC的面积为 . (第6题) (第7题)7.命题角度3[2022江苏盐城]如图,点D为矩形OABC的AB边的中点,反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点D,交BC边于点E,若△BDE的面积为1,则k= . 8.命题角度4[2022湖北天门]如图,在平面直角坐标系中,直线y=-12x与反比例函数y=kx(k≠0)在第二象限内的图象相交于点A(m,1).(1)求反比例函数的解析式;(2)将直线y=-12x向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点B,与y轴交于点C,且△ABO的面积为32,求直线BC的解析式.13\n9.命题角度4[2022四川成都]如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+b的图象经过点A(-2,0),与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点B(a,4).(1)求一次函数和反比例函数的表达式;(2)设M是直线AB上一点,过点M作MN∥x轴,交反比例函数y=kx(x>0)的图象于点N,若以A,O,M,N为顶点的四边形为平行四边形,求点M的坐标.第五节 二次函数的图象与性质1.命题角度1[2022湖北黄冈中考改编]当-1≤x≤2时,函数y=x2-2x+a的最小值为1,则a的值为( ) A.-1B.2C.0D.12.命题角度2[2022山东青岛]已知一次函数y=bax+c的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是( ) A B C D13\n3.命题角度2[2022甘肃白银中考改编]如图是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的一部分,与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是直线x=1.有下列说法:①ab<0;②2a+b=0;③a+b≥m(am+b)(m为实数);④当-1<x<3时,y>0,其中正确的是( )A.①②③B.①②④C.②③D.③④4.命题角度3[2022四川广安]抛物线y=(x-2)2-1可由抛物线y=x2平移得到,下列平移过程正确的是( )A.先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度B.先向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度C.先向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度D.先向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度5.命题角度3[2022浙江绍兴]若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,则称此抛物线为定弦抛物线.已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点( ) A.(-3,-6)B.(-3,0)C.(-3,-5)D.(-3,-1)6.命题角度4[2022甘肃兰州]如图,若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0),Q两点关于它的对称轴x=1对称,则不等式ax2+bx+c<0的解集为 . 7.命题角度4[2022原创]在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a>0)的部分图象如图所示,直线x=1是它的对称轴.若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1的取值范围是2<x1<3,则它的另一个根x2的取值范围是 . 13\n8.命题角度3和5[2022浙江宁波]已知抛物线y=-12x2+bx+c经过点(1,0),(0,32).(1)求该抛物线的函数表达式;(2)将抛物线y=-12x2+bx+c平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.第六节 二次函数的应用1.命题角度1[2022江苏扬州中考改编]“扬州漆器”名扬天下,某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒,成本为30元/件,每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其函数图象如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件,那么当销售单价为多少元时,每天获取的利润最大?最大利润是多少?2.命题角度2[2022平顶山二模]如图,在平面直角坐标系中,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,A(1,0),B(0,2),C(3,1),抛物线y=12x2+bx-2过点C,交y轴于点D.(1)在后面的横线上直接写出点D的坐标及b的值: ,b= ; (2)平移该抛物线的对称轴所在直线l,设l与x轴交于点G(x,0),当OG等于多少时,直线l恰好将△ABC分为面积相等的两部分?(3)点P是抛物线上一动点,是否存在点P,使四边形PACB为平行四边形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案第一节 函数及其图象13\n1.A 由旋转的性质可知,DO=DE,∠ODE=90°.∵∠BDE+∠CDO=90°,∠DOC+∠CDO=90°,∴∠BDE=∠COD.∵∠B=∠DCO=90°,∴△BDE≌△COD,∴BD=CO=4,∴CD=1,∴BE=1,∴AE=3,∴点E的坐标为(-5,3).2.C 因为400×5=2000(m),所以小刚以400m/min的速度匀速骑行5min走的路程为2km,而选项A与B中纵轴表示速度,且横轴上0~5min对应的速度为变量,这与事实不符,故排除选项A与B.选项C中纵轴表示小刚与出发地的距离,图象能表达小刚的骑行过程,选项D中纵轴表示小刚骑行的路程,当骑行15min时,路程应为4km,故排除选项D.故选C.3.C 过点C作CD⊥y轴于点D.∵∠BAC=90°,∴∠DAC+∠OAB=90°.∵∠DCA+∠DAC=90°,∴∠DCA=∠OAB.又∵∠CDA=∠AOB=90°,∴△CDA∽△AOB,∴OBDA=ABAC=tan30°,则xy-1=33,故y=3x+1(x>0),故选项C中的图象符合题意.4.A 分析题意易知,A2(1,1),A4(2,0),A6(3,1),A8(4,0),A10(5,1),…,根据此规律,可知A2018(1009,1),故S△OA2A2022=12×1×(1009-1)=504(m2),故选A.5.3 由题图(2)可知,当t=2时,点P运动到AB的中点处,点Q运动到点C处,故AB=2×2=4(cm).当t=3时,点Q在CD的中点处,BP=4-3=1(cm),点Q到BP的距离为32×4=23(cm),所以S=12×1×23=3(cm2),故a的值为3.第二节 一次函数的图象与性质1.B 由题意得k-2>0,解得k>2.2.A ∵四边形ABCO是矩形,A(-2,0),B(0,1),∴AC=OB=1,BC=OA=2,∴点C的坐标为(-2,1).将点C的坐标代入y=kx,得1=-2k,解得k=-12,故选A.3.A ∵kb>0,∴k,b同号,且k≠0,b≠0.由k,b同号,可排除B,C项.由k≠0,b≠0,可排除D项.故选A.4.C 将直线y=x-1向上平移2个单位长度后,得到直线y=x+1,故k=1,b=1,则直线y=x+1经过第一、二、三象限,与x轴交于点(-1,0),与y轴交于点(0,1),y随x的增大而增大.故选C.5.x=2 令y=0,则ax+b=0.由题图可知,该函数的图象与x轴的交点的横坐标为2,故关于x的方程ax+b=0的解是x=2.6.-2<x<2 ∵一次函数y=-x-2的图象过点P(n,-4),∴-4=-n-2,解得n=2,∴P(2,-4).又∵直线y=-x-2与x轴的交点是(-2,0),∴关于x的不等式组2x+m<-x-2,-x-2<0的解集为-2<x<2.7.(1)由点A,C均在反比例函数y=mx(x<0)的图象上,可得-2a=3a-10,解得a=2,∴m=-2×2=-4.(2)如图,延长AC交x轴于点D,设直线AC的解析式为y=cx+d,将A(-2,2),C(-4,1)分别代入,得-2c+d=2,-4c+d=1,解得c=12,d=3,故直线AC的解析式为y=12x+3,令y=0,则12x+3=0,解得x=-6,故D(-6,0).分两种情况:13\n①当点B在直线AP左侧时,只有当点B与点D重合时,才满足∠PAB=∠PAC,此时直线AB的解析式为y=12x+3.②当点B在直线AP右侧时,∵∠DAP=∠BAP,∠APD=∠APB,AP=AP,∴△ADP≌△ABP,∴BP=DP=-2-(-6)=4,∴OB=BP-OP=4-2=2,故B(2,0).将A(-2,2),B(2,0)分别代入y=kx+b,得-2k+b=2,2k+b=0,解得k=-12,b=1,此时直线AB的解析式为y=-12x+1.综上可知,直线AB的解析式为y=12x+3或y=-12x+1.第三节 一次函数的实际应用1.(1)y=130x,(0≤x≤300)80x+15000.(x>300)(2)设种植总费用为W元,甲种花卉种植am2,则乙种花卉种植(1200-a)m2.由题意,得a≥200,a≤2(1200-a),解得200≤a≤800.当200≤a≤300时,W=130a+100(1200-a)=30a+120000,故当a=200时,Wmin=126000.当300<a≤800时,W=80a+15000+100(1200-a)=-20a+135000,故当a=800时,Wmin=119000.∵119000<126000,∴当a=800时,总费用最少,最少为119000元.此时乙种花卉种植面积为1200-800=400(m2).答:当甲种花卉种植面积为800m2,乙种花卉种植面积为400m2时,种植总费用最少,最少总费用为119000元.2.(Ⅰ)填表如下:游泳次数101520…x方式一的总费用/元150175200…5x+100方式二的总费用/元90135180…9x(Ⅱ)令5x+100=270,解得x=34;令9x=270,解得x=30.因34>30,故小明选择方式一时,游泳的次数比较多.(Ⅲ)令5x+100=9x,解得x=25;令5x+100>9x,解得x<25;令5x+100<9x,解得x>25.故当20<x<25时,小明选择方式二更合算;当x=25时,小明选择方式一、方式二所需费用一样;当x>25时,小明选择方式一更合算.13\n第四节 反比例函数1.B 因为反比例函数的图象与正比例函数的图象均关于原点成中心对称,所以它们的两个交点也关于原点对称,所以题中两函数的图象的另一个交点坐标为(-2,-4).2.B 由题可知,一次函数y=kx-3的图象与y轴的交点在负半轴上,分两种情况讨论.①当k>0时,一次函数y=kx-3的图象经过第一、三、四象限,反比例函数y=kx的图象在第一、三象限.②当k<0时,一次函数y=kx-3的图象经过第二、三、四象限,反比例函数y=kx的图象在第二、四象限.故选B.3.B 对于y=12x,∵k=12>0,∴其图象在第一、三象限,且在每个象限内,y随x的增大而减小.∵-6<-2<0,∴x2<x1<0.∵2>0,∴x3>0,∴x2<x1<x3.4.D 过点C作CD⊥x轴于点D,∵AB=BC,∴AO=OD,CD=2OB.设点A的坐标为(a,0),∵S△AOB=1,∴12OA·OB=1,即12(-a)·OB=1,∴OB=-2a,∴CD=2OB=-4a,∴C(-a,-4a),将点C的坐标代入y=kx,得-4a=k-a,∴k=4.故选D.5.3 根据tan∠AOC=13,可设点A的坐标为(3a,a),代入y=x-2中,得a=3a-2,解得a=1,故点A的坐标为(3,1),∴k=3×1=3.6.8 方法一:联立两函数的解析式,得y=-4x,y=-13x,解得x1=23,y1=-233,x2=-23,y2=233,即A(-23,233),B(23,-233),∴AC=433,BC=43,∴S△ABC=12AC·BC=12×433×43=8.方法二:由|k|的几何意义可知,S△ABC=2|k|=8.7.4 设DB=a,BE=b,则12ab=1,∴ab=2.∵D为AB的中点,∴OC=AB=2a.连接OD,OE,则S△OAD=S△OEC=12k,∴12a·OA=12CE·2a,∴OA=2CE.又∵OA=BC,∴BC=2CE,∴CE=BE=b,∴OA=2b.∵S△OAD=12a·OA=12k,∴k=2ab=4.8.(1)∵点A(m,1)在直线y=-12x上,∴-12m=1,解得m=-2,∴A(-2,1).∵点A在反比例函数y=kx的图象上,∴k-2=1,解得k=-2,故反比例函数的解析式为y=-2x.(2)如图,连接AC,过点A作AD⊥OC于点D,则AD=2.∵BC∥AO,S△ABO=32,∴S△ACO=S△ABO=32.∵S△ACO=12AD·OC=32,∴OC=32.故直线BC的解析式为y=-12x+32.9.(1)∵一次函数y=x+b的图象经过点A(-2,0),13\n∴-2+b=0,∴b=2,故一次函数的表达式为y=x+2.∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点B(a,4),∴a+2=4,∴a=2,∴B(2,4),∴k=2×4=8,故反比例函数的表达式为y=8x.(2)设M(m-2,m),则N(8m,m).当MN∥AO且MN=AO时,以A,O,M,N为顶点的四边形是平行四边形.即|8m-(m-2)|=2,且m>0,解得m=22或m=23+2,∴点M的坐标为(22-2,22)或(23,23+2).第五节 二次函数的图象与性质1.B 该函数图象的对称轴为直线x=--22=1,∵a=1>0,∴在-1≤x≤2范围内,当x=1时,y有最小值,最小值为1-2+a=1,解得a=2.2.A 由题图中一次函数y=bax+c的图象可知,ba<0,c>0.对于二次函数y=ax2+bx+c,∵c>0,-b2a>0,∴它的图象与y轴的交点在x轴上方,且对称轴在y轴右侧,故只有选项A中的图象符合题意.3.A ∵抛物线的对称轴在y轴右侧,∴a,b异号,∴ab<0,故①正确;∵对称轴为直线x=-b2a=1,∴2a+b=0,故②正确;当x=m时,y=am2+bm+c,而当m=1时,am2+bm+c最大,即a+b+c最大,∴am2+bm+c≤a+b+c,所以a+b≥m(am+b)(m为实数),故③正确;由题图可知,当-1<x<3时,y不只是大于0,故④错误.故选A.4.D 抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0),抛物线y=(x-2)2-1的顶点坐标为(2,-1),则抛物线y=x2向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度得到抛物线y=(x-2)2-1.故选D.5.B 设此定弦抛物线的解析式为y=x2+ax+b.∵该抛物线与x轴两个交点间的距离为2,对称轴为直线x=1,∴抛物线y=x2+ax+b过(0,0),(2,0)两点.将(0,0),(2,0)分别代入y=x2+ax+b,得b=0,4+2a+b=0,解得a=-2,b=0,故抛物线的解析式为y=x2-2x=(x-1)2-1.将该抛物线向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得y=(x+1)2-4.当x=-3时,y=(-2)2-4=0.故选B.6.-2<x<4 因为抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0),Q两点关于它的对称轴x=1对称,所以P,Q两点到对称轴x=1的距离相等,所以点Q的坐标为(-2,0).根据题图可知,抛物线y=ax2+bx+c在x轴下侧的部分对应的自变量的取值范围为-2<x<4,故不等式ax2+bx+c<0的解集为-2<x<4.7.-1<x2<0 由图象可知,x=2时,y<0;x=3时,y>0.因为直线x=1是抛物线的对称轴,所以由二次函数图象的对称性可知:x=0时,y<0;x=-1时,y>0,所以另一个根x2的取值范围为-1<x2<0.8.(1)把(1,0),(0,32)分别代入y=-12x2+bx+c,得-12+b+c=0,c=32,解得b=-1,c=32,故抛物线的函数表达式为y=-12x2-x+32.(2)∵y=-12x2-x+32=-12(x+1)2+2,13\n∴其顶点坐标为(-1,2).∴为使该抛物线的顶点恰好落在原点,可先将其向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度.(答案不唯一,正确即可)易得平移后的函数表达式为y=-12x2.第六节 二次函数的应用1.(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,由题意得40k+b=300,55k+b=150,解得k=-10,b=700,故y与x之间的函数关系式为y=-10x+700.(2)由题意,得y≥240,即-10x+700≥240,解得x≤46.设每天获得的利润为w元,则w=(x-30)·y=(x-30)(-10x+700)=-10x2+1000x-21000=-10(x-50)2+4000,∵-10<0,∴当x<50时,w随x的增大而增大,∴当x=46时,w取最大值,为-10×(46-50)2+4000=3840,故当销售单价为46元时,每天获取的利润最大,为3840元.2.(1)(0,-2) -12(2)在Rt△AOB中,OA=1,OB=2.由勾股定理,得AB2=OA2+OB2=5,∴S△ABC=12AB2=52.设l与AC,BC分别交于点E,F,直线BC的解析式为y=kx+b',将点B,C的坐标代入直线BC的解析式,得b'=2,3k+b'=1,解得b'=2,k=-13.故直线BC的解析式为y=-13x+2.同理,直线AC的解析式为y=12x-12.∴点E,F的坐标可以表示为E(x,12x-12),F(x,-13x+2),∴EF=(-13x+2)-(12x-12)=52-56x.过点C作CH⊥x轴于点H,在△CEF中,EF边上的高h=OH-x=3-x.由题意可知,S△CEF=12S△ABC=12EF·h,即12(52-56x)·(3-x)=12×52,解得x1=3-3,x2=3+3(不合题意,舍去),故当OG=3-3时,直线l恰好将△ABC分为面积相等的两部分.(3)存在.点P的坐标为(-2,1).13
