台州市2022-2022年中考数学试题分类解析专题11：圆一、选择题1.（2022年浙江台州4分）如图，⊙O的两条割线PAB，PCD分别交⊙O于点A，B和点C，D．已知PA＝6，AB＝4，PC=5，则CD＝【】（A）（B）（C）7（D）24【答案】C。【考点】相交弦定理。【分析】∵⊙O的两条割线PAB，PCD分别交⊙O于点A，B和点C，D，∴。∵PA＝6，AB＝4，PC=5，∴，解得：CD=7。故选C。2.（2022年浙江台州4分）如图，四个半径均为R的等圆彼此相切，则图中阴影部分（形似水壶）图形的面积为【】A、 B、 C、 D、【答案】A。【考点】相切圆的性质，正方形的判定和性质，扇形面积。【分析】求得四条弧围成的图形的面积然后加上一个圆的面积即可求解：四条弧围成的图形的面积是：以2R为边长的正方形面积减去1个圆满的面积：2R·2R－πR2=4R2－πR2；圆的面积是：πR2。∴图中阴影部分（形似水壶）图形的面积为4R2－πR2+πR2=4R2。故选A。\n3.（2022年浙江温州、台州4分）如图，PT是外切两圆的公切线，T为切点，PAB、PCD分别为这两圆的割线，若PA=3，PB=6，PC=2，则PD等于【】(A)12(B)9(C)8(D)4【答案】B。【考点】切割线定理。【分析】∵根据切割线定理得PT2=PA•PB，PT2=PC•PD，∴PA•PB=PC•PD。∵PA=3，PB=6，PC=2，∴PD=9。故选B。4.（2022年浙江台州4分）如图所示的两圆位置关系是【】（A）相离（B）外切（C）相交（D）内切【答案】C。【考点】圆与圆的位置关系，【分析】判断两圆的位置关系可通过观察两圆是否有交点来确定，一个交点是相切，两个交点是相交，没有交点是相离，显然此题两圆有两个交点，是相交。故选C。5.（2022年浙江台州4分）如图，半径为1的圆中，圆心角为120°的扇形面积为【】（A）（B）（C）（D）【答案】C。【考点】扇形面积的计算。\n【分析】根据扇形面积公式，所求面积为。故选C。6.（2022年浙江台州4分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，OP交AB于点D，交⊙O于点C,在线段AB、PA、PB、PC、CD中，已知其中两条线段的长，但还无法计算出⊙O直径的两条线段是【】（A）AB、CD（B）PA、PC（C）PA、AB（D）PA、PB【答案】D。【考点】勾股定理，垂径定理，切割线定理，射影定理，切线长定理。【分析】根据有关定理逐一作出判断：A、连接OA，构造一个由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，根据垂径定理以及勾股定理即可计算。B、延长PO交圆于另一点E，根据切割线定理即可计算。C、首先根据垂径定理计算AD的长，再根据勾股定理计算PD的长，连接OA，根据射影定理计算OD的长，最后根据勾股定理即可计算其半径。D、根据切线长定理，得PA=PB．相当于只给了一条线段的长，无法计算出半径的长。故选D。7.（2022年浙江台州4分）直径所对的圆周角是【】（A）锐角（B）直角（C）钝角（D）无法确定【答案】B。【考点】圆周角定理。【分析】直接根据直径所对的圆周角是直角得出结论。故选B。8.（2022年浙江台州4分）如图，已知⊙O中，弦AB，CD相交于点P，AP=6，BP=2，CP=4，则PD的长是【】\n（A）6（B）5（C）4（D）3【答案】D。【考点】相交弦定理。【分析】∵⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∴。∵，AP=6，BP=2，CP=4，∴，解得PD=3。故选D。9.（2022年浙江台州4分）我们知道，“两点之间线段最短”，“直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短”．在此基础上，人们定义了点与点的距离，点到直线的距离．类似地，若点P是⊙O外一点（如图），则点P与⊙O的距离应定义为【】（A）线段PO的长度（B）线段PA的长度（C）线段PB的长度（D）线段PC的长度【答案】B。【考点】新定义。【分析】根据前面的几个定义都是点到图形的最小的距离，因而由图可知：点P到⊙O的距离是线段PA的长度。故选B。10.（2022年浙江台州4分）下列命题中，正确的是【】①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③900的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等A．①②③B．③④⑤C．①②⑤D．②④⑤\n所以正确的是③④⑤。故选B。11.（2022年浙江台州4分）大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为【】A．外离B．外切 Ｃ．相交D．内含【答案】A。【考点】两圆的位置关系。【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），外离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，∵大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，，∴6＋3＜10，即两圆圆心距离大于两圆半径之和。∴这两圆的位置关系为外离。故选A。12.（2022年浙江台州4分）如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠AOC=50°，则∠CDB大小为【】A．25°B．30°C．40°D．50°【答案】A。\n【考点】垂径定理，圆周角定理。【分析】∵⊙O的直径CD⊥AB，∴根据垂径定理，得：。∵∠AOC=50°，∴根据“同圆中等弧对等角”，得∠CDB=∠AOC=25°。故选A。13.（2022年浙江台州4分）如图是一个组合烟花的横截面，其中16个圆的半径相同，点A、B、C、D分别是四个角上的圆的圆心，且四边形ABCD为正方形．若圆的半径为r，组合烟花的高为h，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要(接缝面积不计)【】A．B．C．D．14.（2022年浙江台州4分）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为【】A．B．C．3D．2【答案】B。\n【考点】圆的切线的性质，垂线段的性质，勾股定理。【分析】因为PQ为切线，所以△OPQ是Rt△．又OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最小．根据垂线段最短，知OP=3时PQ最小．运用勾股定理得PQ=。故选B。15.（2022年浙江台州4分）如图，点A、B、C是⊙O上三点，∠AOC=130°，则∠ABC等于【】 A．50°B．60°C．65°D．70°【答案】C。【考点】圆周角定理。【分析】根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠ABC=∠AOC=65°。故选C。二、填空题泰州锦元数学工作室邹强1.（2022年浙江台州5分）如图，正方形ABCD边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于E．则直线CD与⊙O的位置关系是▲，阴影部分面积为(结果保留π)▲．∵BC为半圆O的直径，∴直线CD与⊙O相切。连接OE，则OE=OB。又∠EBO=45°,∴△BOE是等腰直角三角形，且面积=。\n又，∴阴影部分面积=。2.（2022年浙江台州5分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，AB＝20，分别以CM、DM为直径作两个大小不同的⊙O1和⊙O2，则图中阴影部分的面积为▲(结果保留)．【答案】。【考点】垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等量代换。【分析】如图，连接AC，AD，∵AB⊥CD，AB=20，∴AM=MB=10。又∵CD为直径，∴∠CAD=90°，∴Rt△MAC∽Rt△MDA。∴，即MA2=MC•MD=100。∴S阴影部分=S⊙O－S⊙1－S⊙2=。3.（2022年浙江台州5分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为▲厘米．【答案】10。\n【考点】垂径定理，勾股定理，矩形的性质，解方程组。【分析】如图，过球心O作IG⊥BC，分别交BC、AD、劣弧于点G、H、I，连接OF。设OH=x，HI=y，则依题意，根据垂径定理、勾股定理和矩形的性质，得，解得。∴球的半径为x＋y=10（厘米）。4.（2022年浙江台州5分）如图，在⊙O中，过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D，若AC=7，AB=4，则sinC的值为▲.【答案】。【考点】切线的性质，锐角三角函数定义。【分析】如图，连接OD，∵DC是⊙O的切线，∴DC⊥OD，即∠ODC=90°。∵AB=4，∴OA=OD=2。∵AC=7，∴OC=5。∴。三、解答题泰州锦元数学工作室邹强1.（2022年浙江台州14分）如图，已知半圆O的直径AB＝10，⊙O1与半圆O内切干点C，与AB相切干点D．(1）求证：CD平分∠ACB；(2）若AC：CB=1：3，求△CDB的面积S△CDB；（3）设AC：CB＝x（x＞0），⊙O1的半径为y，请用含x的代数式表示y．【答案】解：（1）证明：过点C作两圆外公切线MN，\n∵AB与⊙O1相切于点D，∴∠MCD=∠ADC，∠MCA=∠ABC。∵∠MCD=∠MCA+∠ACD，∠ADC=∠ABC+∠BCD，∴∠ACD=∠BCD，即CD平分∠ACB。（2）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°。∴，即。又AC：CB=1：3，解得。∴。∵CD平分∠ACB，∴点D到AC，BC的距离相等。∵AC：CB=1：3，∴。∴。（3）由AC：CB=x，解得：，过点C作CE⊥AB交AB于点E，由得：，解得：。连接OO1并延长，则必过切点C，连O1D，则O1D⊥AB，∴CE∥O1D。∴△OCE∽△OO1D。∴。解得：（x＞0）。\n2.（2022年浙江台州8分）如图PA是△ABC的外接圆O的切线，A是切点，PD∥AC，且PD与AB、AC分别相交于E、D。求证：（1）∠PAE＝∠BDE；（2）EA·EB＝ED·EP【答案】证明：（1）∵AP是切线，∴∠PAE=∠ACB。又∵PD∥AC，∴∠PDB=∠BDE。∴∠PAE=∠BDE。3.（2022年浙江台州12分）在一次数学实验探究课中，需要研究两个同心圆内有关线段的关系问题，某同学完成了以下部分记录单：\n记录单（单位：㎝）第一次第二次第三次图形R＝5R＝3AB2.503.003.50AC6.405.334.57AB·AC（1）请用计算器计算AB·AC的值，并填入上表的相应位置；（2）对半径分别为R、的两个同心圆，猜测AB·AC与R、的关系式，并加以证明。【答案】解：（1）填表如下：第一次第二次第三次图形R＝5R＝3AB2.503.003.50AC6.405.334.57AB·AC1615.9915.995（2）猜测AB·AC与R、的关系式为。证明如下：过点O作直线AE，交小圆与D，E，连接BD、CE，∵∠A=∠A，∠ABD=∠E，∴△ABD∽△AEC。∴，即。∴。\n4.（2022年浙江台州14分）如图，在平面直角坐标系内，⊙C与y轴相切于D点，与x轴相交于A（2，0）、B（8，0）两点，圆心C在第四象限.（1）求点C的坐标；（2）连结BC并延长交⊙C于另一点E，若线段BE上有一点P，使得AB2＝BP·BE，能否推出AP⊥BE？请给出你的结论，并说明理由；（3）在直线BE上是否存在点Q，使得AQ2＝BQ·EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，也请说明理由.（2）能。连结AE，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE=90°。在△ABE与△PBA中，AB2＝BP·BE,即。又∠ABE=∠PBA，∴△ABE∽△PBA。∴∠BPA=∠BAE=90°,即AP⊥BE。\n（3）存在。①当点Q1与C重合时，AQ1=Q1B=Q1E,显然有AQ12＝BQ1·EQ1,∴Q1(5,－4)符合题意。②当Q2点在线段EB上，∵△ABE中，∠BAE=90°，∴点Q2为AQ2在BE上的垂足。∴。∴Q2点的横坐标是2+AQ2·∠BAQ2=2+3.84=5.84又AQ2·∠BAQ2=2.88，∴点Q2（5.84，－2.88）。③若符合题意的点Q3在线段EB外，则可得点Q3为过点A的⊙C的切线与直线BE在第一象限的交点。由Rt△Q3BR∽Rt△EBA，△EBA的三边长分别为6、8、10，故不妨设BR=3t，RQ3=4t，BQ3=5t，由Rt△ARQ3∽Rt△EAB得，即得t=。∴Q3点的横坐标为8+3t=，Q3点的纵坐标为4t=。∴Q3（，）。综上所述，在直线BE上存在点Q，使得AQ2＝BQ·EQ，点Q的坐标为(5,－4)或（5.84，－2.88）或（，）。【考点】垂径定理，勾股定理，圆周勾股定理，射影定理，相似三角形的判定和性质，切割线定理，锐角三角函数的定义，分类思想的应用。【分析】（1）根据题意，根据圆心的性质，可得C的AB的中垂线上，易得C的横坐标为5；进而可得圆的半径为5；利用勾股定理可得其纵坐标为-4；即可得C的坐标。（2）连接AE，由圆周角定理可得∠BAE=90°，进而可得AB2=BP•BE，即，可得△ABE∽△PBA；进而可得∠BAE=90°，即AP⊥BE。\n（3）分三种情况讨论，根据相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数的定义，易得Q到x、y轴的距离，即可得Q的坐标。5.（2022年浙江台州8分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D,交边BC于点E，连结BD.（1）根据题设条件，请你找出图中各对相似三角形；（2）请选择其中的一对相似三角形加以证明.【答案】解：（1）△DBE∽△DAB；△DBE∽△CAE；△ABD∽△AEC。（2）选择△ABD∽△AEC证明：∵DA是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAE。∵∠D=∠C，∴△ABD∽△AEC。【考点】圆周角定理，对顶角的性质，相似三角形的判定。【分析】认真审题，由圆周角定理，对顶角的性质，根据相似三角形的判定方法进行判定。6.（2022年浙江台州10分）如图，△ABC内接于⊙O，点D在半径OB的延长线上，∠BCD=∠A=30°．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径长为1，求由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分面积．（结果保留π和根号）【答案】解：（1）直线CD与⊙O相切。理由如下：∵在⊙O中，∠A=30°，∴∠COB=2∠A=2×30°=60°。又∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形。∴∠OCB=60°。又∵∠BCD=30°，∴∠OCD=60°+30°=90°。∴OC⊥CD。\n又∵OC是半径，∴直线CD与⊙O相切。（2）由（1）得△OCD是Rt△，∠COB=60°，∵OC=1，∴CD=。∴。又∵，∴。【考点】圆周角定理，切线的判定，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算。【分析】（1）由已知可证得OC⊥CD，OC为圆的半径，所以直线CD与⊙O相切。（2）根据已知可求得OC，CD的长，则利用求得阴影部分的面积。7.（2022年浙江台州8分）如图，等腰△OAB中，OA=OB，以点O为圆心作圆与底边AB相切于点C．求证：AC=BC．
