中档解答组合限时练(九)限时:15分钟 满分:16分1.(5分)已知关于x的一元二次方程x2-(k+2)x+(2k-1)=0.(1)求证:方程恒有两个不相等的实数根;(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求以此两根为边长的直角三角形的周长.2.(5分)如图J9-1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=23,以AC为边在△ABC的外部作等边三角形ACD,连接BD.(1)求四边形ABCD的面积;(2)求BD的长.6\n图J9-13.(6分)在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx(k≠0,x>0)的图象如图J9-2所示.已知此图象经过A(m,n),B(2,2)两点.过点B作BD⊥y轴于点D,过点A作AC⊥x轴于点C,AC与BD交于点F.一次函数y=ax+b(a≠0)的图象经过点A,D,与x轴的负半轴交于点E.(1)如果AC=32OD,求a,b的值;(2)如果BC∥AE,求BC的长.图J9-26\n6\n参考答案1.解:(1)证明:∵Δ=(k+2)2-4(2k-1)=(k-2)2+4>0,∴方程恒有两个不相等的实数根.(2)根据题意得1-(k+2)+(2k-1)=0,解得k=2,则原方程为x2-4x+3=0,解得另一个根为x=3.①当该直角三角形的两直角边长是1,3时,由勾股定理得斜边的长为10,该直角三角形的周长为4+10;②当该直角三角形的直角边长和斜边长分别是1,3时,由勾股定理得该直角三角形的另一直角边长为22,该直角三角形的周长为4+22.2.解:(1)∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=23,∴cos∠ABC=BCAB,AC=12AB,∠BAC=90°-∠ABC=90°-30°=60°,∴AB=BCcos∠ABC=23cos30°=4,AC=12×4=2.∵△ACD为等边三角形,∴AD=CD=AC=2,∠DAC=60°.如图,过点D作DE⊥AC于点E,则DE=AD·sin∠DAC=2×sin60°=3,∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12AC·BC+12AC·DE=12×2×23+12×2×3=33.6\n(2)如图,过点D作DF⊥AB交BA延长线于点F.∵∠DAF=180°-∠BAC-∠DAC=180°-60°-60°=60°,∴DF=AD·sin∠DAF=2sin60°=3,AF=AD·cos∠DAF=2cos60°=1,∴BF=AB+AF=4+1=5.∵DF⊥AB,∴在Rt△BDF中,BD2=DF2+BF2=(3)2+52=28,∴BD=27.3.解:(1)如图①,∵点B(2,2)在y=kx的图象上,∴k=4,y=4x.∵BD⊥y轴,∴D点的坐标为(0,2),OD=2.∵AC⊥x轴,AC=32OD,∴AC=3,即A点的纵坐标为3.∵点A在y=4x的图象上,∴A点的坐标为43,3.6\n∵一次函数y=ax+b的图象经过点A,D,∴43a+b=3,b=2.解得a=34,b=2.∴a=34,b=2.(2)如图②,设A点的坐标为m,4m,则C点的坐标为(m,0).∵BD∥CE,BC∥DE,∴四边形BCED为平行四边形.∴CE=BD=2,DE=BC.∵BD∥CE,∴∠ADF=∠AEC.∴在Rt△AFD中,tan∠ADF=AFDF=4m-2m,在Rt△ACE中,tan∠AEC=ACEC=4m2,∴4m-2m=4m2.∵m≠0,∴m=1.∴C点的坐标为(1,0),∴BC=5.6
