中档解答组合限时练(八)限时:15分钟 满分:16分1.(5分)已知关于x的一元二次方程ax2+(3a+1)x+2(a+1)=0(a≠0).(1)求证:无论a为任何非零实数,方程总有两个实数根;(2)当a取何整数时,关于x的方程ax2+(3a+1)x+2(a+1)=0(a≠0)的两个实数根均为负整数?2.(5分)如图J8-1,四边形ABCD中,AC,BD是对角线,△ABC是等边三角形.线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE6\n,连接AE.(1)求证:AE=BD;(2)若∠ADC=30°,AD=3,BD=42.求CD的长.图J8-13.(6分)已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(-1,6).(1)求k的值;(2)过点A作直线AC与函数y=kx的图象交于点B,与x轴交于点C,且AB=2BC,求点B的坐标.6\n6\n参考答案1.解:(1)证明:∵Δ=(3a+1)2-8a(a+1)=9a2+6a+1-8a2-8a=a2-2a+1=(a-1)2≥0,∴无论a为任何非零实数,方程总有两个实数根.(2)x=-(3a+1)±(a-1)2a,x1=-1-1a,x2=-2.∵两个实数根均为负整数,且a为整数,∴a=1.2.解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC,∠ACB=60°.由旋转的性质可得:CE=CD,∠DCE=60°.∴∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD,即∠ACE=∠BCD.∴△ACE≌△BCD.∴AE=BD.(2)如图,连接DE.∵CD=CE,∠DCE=60°,∴△DCE是等边三角形.∴∠CDE=60°,DC=DE.6\n∵∠ADC=30°,∴∠ADC+∠CDE=90°.∵AE=BD,BD=42,∴AE=42.在Rt△ADE中,AD=3,由勾股定理,得DE=(42)2-32=23.∴DC=DE=23.3.解:(1)由题意,得-k=6.解得k=-6.(2)①当点B在第二象限时,如图①.过点A作AE⊥x轴于E,过点B作BF⊥x轴于F.∴AE∥BF.∴BFAE=CBCA.∵AB=2BC,∴CBCA=13.∵AE=6,∴BF=2.当y=2时,2=-6x,解得x=-3.∴B(-3,2).②当点B在第四象限时,如图②,同①可求点B(1,-6).6\n综上所述,点B的坐标为(-3,2)或(1,-6).6
