8-5双曲线基础巩固强化1.(2012·深圳模拟)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1[答案] A[分析] 首先根据椭圆的离心率与长轴长求焦距，再根据双曲线的定义，求曲线C2的标准方程．[解析] 在椭圆C1中，因为e＝，2a＝26，所以椭圆的焦距2c＝10，根据题意，可知曲线C2为双曲线，根据双曲线的定义可知，双曲线C2中的2a＝8，焦距与椭圆的焦距相同，即2c＝10，可知b＝3，所以双曲线的标准方程为－＝1，故选A.2．(2012·东北三校联考)存在两条直线x＝±m与双曲线－＝1(a>0，b>0)相交于A、B、C、D四点，若四边形ABCD为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为( )A．(1，)B．(1，)C．(，＋∞)D．(，＋∞)[答案] C[解析] 依题意，不妨设直线AC的倾斜角为锐角，则直线AC的倾斜角为45°，该直线与双曲线有两个不同的交点，因此有>tan45°＝1，双曲线的离心率e＝＝>＝，则该双曲线的离心率的取值范围是(，＋∞)，选C.3．(2011·青岛一检)设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|＝( )A.B．2C.D．2[答案] B[解析] ∵F1、F2为双曲线的左右焦点，∴F1(－，0)，F2(，0)，16\n由向量加法的平行四边形法则及直角三角形斜边上的中线性质知，|＋|＝|2|＝2，故选B.4．(文)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A.B.C.D.[答案] D[解析] 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，所以其渐近线方程为y＝±x，因为点(4，－2)在渐近线上，所以＝，根据c2＝a2＋b2可得，＝，化为e2＝，故e＝，故选D.(理)已知F1、F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为( )A．4＋2B.－1C.D.＋1[答案] D[解析] 设线段MF1的中点为P，由已知△F1PF2为有一锐角为60°的直角三角形，∴|PF1|、|PF2|的长度分别为c和c.由双曲线的定义知：(－1)c＝2a，∴e＝＝＋1.5．(文)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上．则双曲线的方程为( )16\nA.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1[答案] B[解析] 由题易知＝，①且双曲线焦点为(6,0)、(－6,0)，则有a2＋b2＝36，②由①②知：a＝3，b＝3，∴双曲线方程为－＝1，故选B.(理)(2011·天津文，6)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A．2B．2C．4D．4[答案] B[解析] 由交点(－2，－1)得－＝－2，∴p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x，∴F(2,0)，又a＋＝a＋2＝4，∴a＝2，双曲线的一条渐近线为y＝x，且过点(－2，－1)，∴a－2b＝0，∴b＝1，∴c2＝a2＋b2＝5，∴c＝，2c＝2.故选B.6．如图，F1、F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A1、A2是双曲线的两个顶点，P是双曲线上不同于A1、A2的点，则分别以A1A2、F1P为直径的两个圆( )16\nA．相交B．相切C．相离D．以上均有可能[答案] B[解析] 取PF1的中点M，连接OM、PF2，∴|PF1|－|PF2|＝±2a，|PF1|－|PF2|＝±a，即|PF1|－|OM|＝±a，∴|OM|＝|PF1|±a＝R±a，∴两圆相切．7．(文)设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．[答案] [解析] 如图，双曲线的渐近线方程为y＝±x，F(5,0)，∴直线BF：y＝(x－5)，解得y＝－，16\n又|AF|＝5－3＝2，∴S△AFB＝×2×＝.(理)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1、F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线离心率的取值范围是________．[答案] 1<e≤2[解析] 由题意∴∵|PF1|≥|AF1|，∴3a≥a＋c，∴e＝≤2，∴1<e≤2.8．(2011·浙江杭州月考)双曲线x2－＝1的右焦点到双曲线一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为________．[答案] [解析] 双曲线x2－＝1的右焦点F(c,0)到渐近线bx＋y＝0的距离：＝b＝2，又a＝1.∴c2＝a2＋b2＝5，c＝.∴双曲线的离心率e＝＝.9．(文)(2012·宝鸡一检)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率是2，则的最小值为________．[答案] 16\n[解析] 由离心率e＝2得，＝2，从而b＝a>0，所以＝＝a＋≥2＝2＝，当且仅当a＝，即a＝时“＝”成立．(理)P为双曲线x2－＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________．[答案] 5[解析] 双曲线的两个焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r1＝2，r2＝1，|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值为(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝5.10．(文)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；(3)在(2)的条件下，求△F1MF2的面积．[解析] (1)∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6，∴双曲线方程为－＝1.(2)证明：法1：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，∴kMF1＝，kMF2＝，kMF1·kMF2＝＝，∵点M(3，m)在双曲线上，∴m2＝3，∴kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，16\n即·＝0.法2：∵＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)，∴·＝(－2－3)×(2－3)＋m2＝－3＋m2，∵点M在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴·＝0.(3)∵△F1MF2的底边长|F1F2|＝4，△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝6.(理)(2013·陕西师大附中上学期一模)已知△ABC的边AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，M(2,0)满足＝，点T(－1,1)在边AC所在直线上，且·＝0.(1)求△ABC外接圆的方程；(2)一动圆过点N(－2,0)，且与△ABC的外接圆外切，求此动圆圆心的轨迹Γ的方程；(3)过点A斜率为k的直线与曲线Γ交于相异的P、Q两点，满足·>6，求k的取值范围．[解析] (1)∵·＝0，∴AT⊥AB，从而直线AC的斜率为－3.所以AC边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)．即3x＋y＋2＝0.由得点A的坐标为(0，－2)，∵＝，16\n∴M(2,0)为Rt△ABC外接圆的圆心，又r＝|AM|＝＝2.所以△ABC外接圆的方程为：(x－2)2＋y2＝8.(2)设动圆圆心为P，因为动圆过点N，且与△ABC外接圆M外切，所以|PM|－|PN|＝2.故点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2，半焦距c＝2的双曲线的左支．从而动圆圆心的轨迹Γ方程为－＝1(x<0)．(3)直线PQ方程为y＝kx－2，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得：(1－k2)x2＋4kx－6＝0(x<0)．∴解得：－<k<－1.故k的取值范围为(－，－1).能力拓展提升11.(文)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1都相切，则双曲线C的离心率是( )A.或2B．2或C.或D.或[答案] A[解析] 焦点在x轴上时，由条件知＝，∴＝，∴e＝＝，同理，焦点在y轴上时，＝，此时e＝2.(理)若原点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为( )A．[3－2，＋∞)B．[3＋2，＋∞)C．[－，＋∞)D．[，＋∞)[答案] B[解析] ∵a2＋1＝22＝4，∴a2＝3，∴双曲线方程为－y2＝1.16\n设P点坐标为(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋2，y)，∵y2＝－1，∴·＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋－1＝x2＋2x－1＝(x＋)2－.又∵x≥(右支上任意一点)，∴·≥3＋2.故选B.12．(文)(2011·山东临沂一模)设F1、F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|＝|F1F2|，且cos∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为( )A．3x±4y＝0B．3x±5y＝0C．4x±3y＝0D．5x±4y＝0[答案] C[解析] 在△PF1F2中，由余弦定理得，cos∠PF1F2＝＝＝＝.所以|PF1|＝c.又|PF1|－|PF2|＝2a，即c－2c＝2a，所以c＝a.代入c2＝a2＋b2得＝±.因此，双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0.(理)△ABC中，A为动点，B、C为定点，B，C(其中m>0，且m为常数)，且满足条件sinC－sinB＝sinA，则动点A的轨迹方程为( )A.－＝1 B.－＝1C.－＝1(x>) D.－＝116\n[答案] C[解析] 依据正弦定理得：|AB|－|AC|＝|BC|＝<|BC|∴点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支，且a＝，c＝，∴b2＝c2－a2＝∴双曲线方程为－＝1(x>)13．点A(x0，y0)在双曲线－＝1的右支上，若点A到右焦点的距离等于2x0，则x0＝__________.[答案] 2[解析] 右焦点F(6,0)，A点在双曲线上，14．(文)(2012·辽宁文，15)已知双曲线x2－y2＝1，点F1、F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．[答案] 2[解析] 本题考查了双曲线的概念．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，根据双曲线的定义及已知条件可得|m－n|＝2a＝2，m2＋n2＝4c2＝8，∴2mn＝4，∴(|PF1|＋|PF2|)2＝(m＋n)2＝(m－n)2＋4mn＝12，∴|PF1|＋|PF2|＝2.[点评] 充分利用PF1⊥PF2,将||PF1|－|PF2||＝2a，转化到|PF1|＋|PF2|是解决本题的关键，也可以设|PF2|＝x，利用定义及PF1⊥PF2建立x的方程求解．16\n(理)已知两个正数a、b的等差中项为，椭圆＋＝1(a>b)的离心率为，则双曲线－＝1的离心率为________．[答案] [解析] 由条件知∵a2－b2＝c2＝a2，∴2a＝3b，∴b＝2，a＝3.∴双曲线的离心率e＝＝.15．设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，若＝，求a的值．[解析] (1)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，①由题设条件知，解得0<a<且a≠1，又双曲线的离心率e＝＝，∵0<a<且a≠1，∴e>且e≠.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)．∵＝，∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)．∴x1＝x2，∵x1、x2是方程①的两根，且1－a2≠0，∴x2＝－，x＝－，消去x2得，－＝，∵a>0，∴a＝.16．(文)(2012·湖南师大附中第七次月考)已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线与圆x2＋y2－10x＋20＝0相切．过点P(－4,0)作斜率为的直线l16\n，交双曲线左支于A、B两点，交y轴于点C，且满足|PA|·|PB|＝|PC|2.(1)求双曲线的标准方程；(2)设点M为双曲线上一动点，点N为圆x2＋(y－2)2＝上一动点，求|MN|的取值范围．[解析] (1)设双曲线的渐近线方程为y＝kx，因为渐近线与圆(x－5)2＋y2＝5相切，则＝，即k＝±，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.设双曲线方程为x2－4y2＝m，将y＝(x＋4)代入双曲线方程中整理得，3x2＋56x＋112＋4m＝0.所以xA＋xB＝－，xAxB＝.因为|PA|·|PB|＝|PC|2，点P、A、B、C共线，且点P在线段AB上，则(xP－xA)(xB－xP)＝(xP－xC)2，即(xB＋4)(－4－xA)＝16.所以4(xA＋xB)＋xAxB＋32＝0.于是4·(－)＋＋32＝0，解得m＝4.故双曲线方程是x2－4y2＝4，即－y2＝1.(2)设点M(x，y)，圆x2＋(y－2)2＝的圆心为D，则x2－4y2＝4，点D(0,2)．所以|MD|2＝x2＋(y－2)2＝4y2＋4＋(y－2)2＝5y2－4y＋8＝5(y－)2＋≥.所以|MD|≥，从而|MN|≥|MD|－≥.故|MN|的取值范围是[，＋∞)．(理)已知斜率为1的直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)相交于B、D两点，且BD的中点为M(1,3)．16\n(1)求C的离心率；(2)设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．[解析] (1)由题意知，l的方程为：y＝x＋2，代入C的方程并化简得，(b2－a2)x2－4a2x－4a2－a2b2＝0.设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1·x2＝－，①由M(1,3)为BD的中点知＝1，故×＝1，即b2＝3a2，②故c＝＝2a，∴C的离心率e＝＝2.(2)由②知，C的方程为3x2－y2＝3a2，A(a,0)，F(2a,0)，x1＋x2＝2，x1·x2＝－<0，故不妨设x1≤－a，x2≥a，|BF|＝＝＝a－2x1，|FD|＝＝＝2x2－a，|BF|·|FD|＝(a－2x1)(2x2－a)＝－4x1x2＋2a(x1＋x2)－a2＝5a2＋4a＋8.又|BF|·|FD|＝17，故5a2＋4a＋8＝17，解得a＝1，或a＝－.故|BD|＝|x1－x2|＝＝6.连接MA，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3，从而MA＝MB＝MD，∠DAB＝90°，因此以M为圆心，MA为半径的圆过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．1．(2011·广东揭阳市模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为( )16\nA．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x[答案] D[解析] 依题意得双曲线的半焦距c＝4，由e＝＝2⇒a＝2，∴b＝＝2，∵双曲线的焦点在x轴上，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选D.2．若双曲线过点(m，n)(m>n>0)，且渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点( )A．在x轴上B．在y轴上C．在x轴或y轴上D．无法判断是否在坐标轴上[答案] A[解析] 由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线的方程为：x2－y2＝λ，将(m，n)代入x2－y2＝λ得：m2－n2＝λ>0，从而该双曲线的焦点在x轴上．3．(2012·浙江文，8)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M、N是双曲线的两顶点，若M、O、N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A．3B．2C.D.[答案] B[解析] 本题考查了椭圆与双曲线中离心率e的求法．设椭圆长轴长为2a，则双曲线实半轴长为＝，因为椭圆与双曲线有公共焦点，16\n所以离心率的比值＝＝2.4．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A、B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1[答案] B[解析] 设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有：两式作差得：＝＝，又AB的斜率是＝1，所以b2＝a2，代入a2＋b2＝9得，a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是－＝1，故选B.5．如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，当动点M在底面ABCD内运动时，总有：D1A＝D1M，则动点M在面ABCD内的轨迹是( )上的一段弧．( )A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线[答案] A[解析] 因为满足条件的动点在底面ABCD内运动时，动点的轨迹是以D1D为轴线，以D1A为母线的圆锥，与平面ABCD的交线即圆的一部分．故选A.6．(2012·河南郑口中学模拟)已知F为双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，点P为双曲线右支上任意一点，则以线段PF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的位置关系是( )16\nA．相离B．相切C．相交D．不确定[答案] B[解析] 设双曲线左焦点为F1，PF的中点为C，则由双曲线的定义知，|PF1|－|PF|＝2a，∵C、O分别为PF、F1F的中点，∴|PF1|＝2|CO|，|PF|＝2|PC|，∴|CO|－|PC|＝a，即|PC|＋a＝|CO|，∴两圆外切．7．设F1、F2为曲线C1：＋＝1的焦点，P是曲线C2：－y2＝1与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为( )A.B．1C.D．2[答案] C[解析] ∵P是曲线C1与C2的交点，∴联立方程组解之得，|y|＝，由条件知|F1F2|＝4，∴S△PF1F2＝·|F1F2|·|y|＝×4×＝.故选C.8．已知P是双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上的一点，F1(－c,0)、F2(c,0)分别是其左、右焦点，则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为________．[答案] a[解析] 令内切圆与F1F2的切点为G，与PF1的切点为H，与PF2的切点为K，则(|PH|＋|HF1|)－(|PK|＋|KF2|)＝|F1G|－|GF2|＝2a，又|F1G|＋|GF2|＝2c，则|F1G|＝a＋c，∴切点为右顶点，易知圆心的横坐标为a.16
