“10＋7”提速专练卷(四)限时：50分钟 满分：78分一、选择题(共10个小题，每小题5分，共50分)1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B＝( )A．{x|－1≤x<0} B．{x|0<x≤1}C．{x|0≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}解析：选B 由题意得A＝{x|－1≤2x＋1≤3}＝{x|－1≤x≤1}，B＝＝{x|0<x≤2}，所以A∩B＝{x|－1≤x≤1}∩{x|0<x≤2}＝{x|0<x≤1}．2．如图给出的是计算＋＋＋…＋的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A．i≤1005B．i>1005C．i≤1006D．i>1006解析：选C ＋＋＋…＋可视为数列的前1006项的和，因此结合程序框图可知，判断框内应填入的条件是i≤1006.3．函数f(x)＝lnx＋x－2的零点位于区间( )A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：选B 虽然f(0)无意义，但在x接近零时，函数值趋向负无穷大，f(1)＝－1<0，f(2)＝ln2>0，f(3)＝ln3＋1>0，f(4)＝ln4＋2>0，根据函数的零点存在性定理可得，函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)．4．一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，其中正(主)视图是直角三角形，侧(左)视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是( )A.cm3B.cm3C.cm3D．πcm3解析：选A 依题意得，该几何6\n体是一个圆锥的一半(沿圆锥的轴剖开)，其中该圆锥的底面半径为1、高为3，因此该几何体的体积为×＝cm3.5．设α、β、γ是三个互不重合的平面，m、n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是( )A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB．若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥βC．若α⊥β，m⊥α，则m∥βD．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n解析：选B 对于A，注意到“垂直于同一个平面的两个平面可能平行也可能垂直”，因此选项A不正确；对于B，由m∥α得，在平面α内必存在直线m1，使得m1∥m；由α∥β得，m1∥β，于是有m∥β，因此选项B正确；对于C，满足题设条件的直线m可能位于平面β内，且直线m垂直于平面α与平面β的交线，因此选项C不正确；对于D，当m∥α，n∥β，α⊥β时，直线m、n所成的角不确定，因此选项D不正确．6．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减．若数列{an}是等差数列，且a3<0，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＋f(a5)的值( )A．恒为正数 B．恒为负数C．恒为0D．可正可负解析：选A 因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.因为当x≥0时，f(x)单调递减，所以当x<0时，f(x)>0.所以f(a3)>0，且f(x)在R上是单调减函数．因为a2＋a4＝2a3<0，所以a2<－a4.所以f(a2)>f(－a4)＝－f(a4)，所以f(a2)＋f(a4)>0.同理f(a1)＋f(a5)>0.所以f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＋f(a5)>0.7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像经过点，且f＝－1，则ω＝( )A.B．4C.D.解析：选D 依题意得，f(0)＝sinφ＝，又因为0≤φ≤，因此φ＝.由f＝sin＝－1得ω×＋＝2kπ－，ω＝8k－，k∈Z，6\n又因为0<ω<5，于是有0<8k－<5，<k<，k∈Z，因此k＝1，ω＝.8．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，若＝x＋(1－x)·，则x的取值范围是( )A.B.C.D.解析：选D 设＝λ，其中1<λ<，则有＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.又＝x＋(1－x)，且、不共线，于是有x＝1－λ∈，即x的取值范围是.9．已知两条直线l1：y＝m和l2：y＝(m＞0)，l1与函数y＝|log2x|的图像从左至右相交于点A，B，l2与函数y＝|log2x|的图像从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，的最小值为( )A．16B．8C．8D．4解析：选B 数形结合可知A，C点的横坐标在区间(0,1)内，B，D点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而且xC－xA与xB－xD同号，所以＝.根据已知|log2xA|＝m，即－log2xA＝m，所以xA＝2－m.同理可得xC＝2，xB＝2m，xD＝2，所以＝＝＝＝2，由于＋m＝＋－≥4－＝，当且仅当＝，即2m＋1＝4，即m＝时等号成立，故的最小值为2＝8.10．已知f(x)是定义在[a，b]上的函数，其图像是一条连续的曲线，且满足下列条件：①f(x)的值域为G，且G⊆(a，b)；②对任意的x，y∈[a，b]，都有|f(x)－f(y)|<|x－y|.那么，关于x的方程f(x)＝x在区间[a，b]上根的情况是( )A．没有实数根B．有且仅有一个实数根6\nC．恰有两个实数根D．有无数个不同的实数根解析：选B 依题意得，当x>y时，有|f(x)－f(y)|<|x－y|＝x－y，－(x－y)<f(x)－f(y)<x－y，即有f(x)－f(y)<x－y，f(x)－x<f(y)－y，令函数g(x)＝f(x)－x，则g(x)是[a，b]上的减函数；又当x∈[a，b]时，a<f(x)<b，g(a)＝f(a)－a>0，g(b)＝f(b)－b<0，g(a)g(b)<0，因此方程g(x)＝0，即f(x)＝x在[a，b]上有且仅有一个实根．二、填空题(共7个小题，每小题4分，共28分)11．已知α∈，sinα＝－，则tan(π－α)＝________.解析：依题意得，cosα＝＝，tanα＝＝－，tan(π－α)＝－tanα＝.答案：12．已知各项为正数的数列{an}对任意p，q∈N*，都有ap＋q＝3ap·aq，若a1＝1，则a9＝________.解析：a2＝a1＋1＝3a1·a1＝3，令p＝n，q＝1，得到an＋1＝3an·a1＝3an，即＝3.则{an}是以1为首项，公比为3的等比数列．故a9＝38＝6561.答案：656113．已知任意非零实数x，y满足3x2＋4xy≤λ(x2＋y2)恒成立，则实数λ的最小值为________．解析：依题意得，3x2＋4xy≤3x2＋[x2＋(2y)2]＝4(x2＋y2)，因此有≤4，当且仅当x＝2y时取等号，即的最大值是4，结合题意得λ≥，故λ≥4，即λ的最小值是4.答案：414．若P是双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)和圆C2：x2＋y2＝a2＋b2的一个交点且∠PF2F1＝2∠PF1F2，其中F1、F2是双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率为________．解析：依题意得，∠F1PF2＝90°，又∠PF2F1＝2∠PF1F2，因此∠PF1F2＝30°，|PF2|＝|F1F2|＝c，|PF1|＝|F1F2|＝c，所以双曲线C1的离心率等于＝＝＋1.6\n答案：＋115．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．解析：由题意知f′(x)＝－x＋4－＝＝－，由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t<1<t＋1或者t<3<t＋1，得0<t<1或者2<t<3.答案：(0,1)∪(2,3)16．已知向量a＝(2，－n)，b＝(Sn，n＋1)，n∈N*，其中Sn是数列{an}的前n项和，若a⊥b，则数列的最大项的值为________．解析：依题意得a·b＝0，即2Sn＝n(n＋1)，Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n；又a1＝S1＝＝1，因此an＝n，＝＝＝≤，当且仅当n＝，n∈N*，即n＝2时取等号，因此数列的最大项的值是.答案：17．定义在R上的函数f(x)，如果存在函数g(x)＝kx＋b(k，b为常数)，使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立，则称g(x)为函数f(x)的一个承托函数．现有如下函数：①f(x)＝x3；②f(x)＝2－x；③f(x)＝④f(x)＝x＋sinx.则存在承托函数的f(x)的序号为________．(填入满足题意的所有序号)解析：对于①，结合函数f(x)的图像分析可知，不存在函数g(x)使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立，即f(x)不存在承托函数；对于②，注意到f(x)＝2－x>0，因此存在函数g(x)＝0，使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立，f(x)存在承托函数；对于③，结合函数f(x)的图像分析可知，不存在函数g(x)使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立，即f(x)不存在承托函数；对于④，注意到f(x)＝x＋sinx≥x－1，因此存在函数g(x)＝x－1，使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立，f(x)存在承托函数．综上所述，存在承托函数的f(x)的序号为②④.答案：②④6\n6
