“10+7”提速专练卷(八)限时:50分钟 满分:78分一、选择题(共10个小题,每小题5分,共50分)1.若集合A={x|x2-2x-3≤0},B=,则A∩B=( )A.{x|-1≤x<0} B.{x|0≤x<2}C.{x|0≤x≤2}D.{x|0≤x≤1}解析:选B 由x2-2x-3≤0得-1≤x≤3;由≤0得0≤x<2.因此,A∩B={x|0≤x<2}.2.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A x≥2且y≥2⇒x2+y2≥4,但x2+y2≥4⇒/x≥2且y≥2.3.定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,2)上是增函数,且f(x+2)的图像关于y轴对称,则( )A.f(0)>f(3)B.f(0)=f(3)C.f(-1)=f(3)D.f(-1)<f(3)解析:选D 函数f(x+2)的图像关于y轴对称,说明这个函数是偶函数,所以f(-x+2)=f(x+2).令x=1,得f(1)=f(3),因为函数f(x)在(-∞,2)上是增函数,所以f(-1)<f(1)=f(3).4.如图,设P是单位圆和x轴正半轴的交点,M、N是单位圆上的两点,O是坐标原点,若∠POM=,∠PON=α,α∈[0,π),f(α)=·,则f(α)的值域是( )A.B.C.D.解析:选A 由题意可知点M,点N(cosα,sinα)易知f(α)=·(cosα,sinα)=cos·cosα+sinsinα=cos6\n,因为α∈[0,π),所以-≤α-<,所以-=f(π)<f(α)≤f=1.5.利用如图所示的程序框图在直角坐标平面上打印一系列点,则打印的点落在坐标轴上的个数是( )A.0B.1C.2D.3解析:选B 依题意得,当i=3时,打印的点是(-2,6),x=-1,y=5,i=3-1=2;当i=2时,打印的点是(-1,5),x=0,y=4,i=2-1=1;当i=1时,打印的点是(0,4),x=1,y=3,i=1-1=0,此时0不大于0,所以结束.6.直线xsinθ+ycosθ=1与圆(x-1)2+y2=9的公共点的个数为( )A.0B.1C.2D.0,1或2解析:选C 依题意,圆(x-1)2+y2=9的圆心坐标是(1,0),半径是3,因为圆心(1,0)到直线xsinθ+ycosθ=1,即xsinθ+ycosθ-1=0的距离α==|sinθ-1|≤2<3,圆心到直线xsinθ+ycosθ=1的距离小于半径,因此该直线与圆相交,它们的公共点个数是2.7.函数f(x)=sinπx+cosπx+|sinπx-cosπx|对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x2-x1|的最小值为( )A.B.1C.2D.4解析:选A 依题意得,当sinπx-cosπx≥0,即sinπx≥cosπx时,f(x)=2sinπx;当sinπx-cosπx<0,即sinπx<cosπx时,f(x)=2cosπx.令f(x1)、f(x2)分别是函数f(x)的最小值与最大值,6\n如图可知,|x2-x1|的最小值是-=.8.已知M是△ABC内的一点,且·=2,∠BAC=30°,若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为,x,y,则+的最小值为( )A.20B.19C.16D.18解析:选D 依题意得·=||·||cos30°=2,则||·||=4,故S△ABC=||·||sin30°=1,即+x+y=1,x+y=,所以+=2(x+y)=2≥2=18,当且仅当=,即y=2x=时,等号成立,因此+的最小值为18.9.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像如图所示,为了得到g(x)=sin2x的图像,则只要将f(x)的图像( )A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度解析:选C 由图可知,A=1,T=×4=π.∴ω==2.又∵图像过点,6\n∴f(x)=sin=0.∵|φ|<,∴φ=.∴f(x)=sin为了得到g(x)=sin2x的图像,则只要将f(x)的图像向右平移个单位长度.10.球O的球面上有四点S、A、B、C,其中O、A、B、C四点共面,△ABC是边长为2的正三角形,平面SAB⊥平面ABC,则棱锥S-ABC的体积的最大值为( )A.1B.C.D.解析:选D 记球O的半径为R,作SD⊥AB于D,连接OD、OS,则有R==,SD⊥平面ABC,注意到SD==,因此要使SD最大,则需OD最小,而OD的最小值等于×=,因此高SD的最大值是=1,又棱锥S-ABC的体积等于S△ABC·SD=××22×SD=SD,因此棱锥S-ABC的体积的最大值是×1=.二、填空题(共7个小题,每小题4分,共28分)11.为了解高一学生到学校阅览室阅读的情况,现采用简单随机抽样的方法,从高一的1500名同学中抽取50名同学,调查了他们在一学期内到阅览室阅读的次数,结果用茎叶图表示,如图所示.据此可估计该学期1500名高一学生中,到阅览室阅读次数在[23,43)内的人数为________.解析:由茎叶图可知在50名学生中,到阅览室阅读的次数在[23,43)内的人数为14,据此可以估计该学期1500名高一学生中,到阅览室阅读次数在[23,43)内的人数为×1500=420.答案:4206\n12.在△ABC中,若sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC,则角A的值为________.解析:依题意得a2=b2+c2+bc,所以cosA==-.又0<A<π,因此A=.答案:13.直线y=-x与椭圆C:+=1(a>b>0)交于A、B两点,以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点,则椭圆C的离心率为________.解析:设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,由题意可得|OF2|=|OA|=|OB|=|OF1|=c,由y=-x得∠AOF2=,∠AOF1=,∴|AF2|=c,|AF1|=c.由椭圆的定义知,|AF1|+|AF2|=2a.∴c+c=2a,∴e==-1.答案:-114.如图,在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AH⊥BC于点H,M为AH的中点,若=λ+μ,则λ+μ=________.解析:因为AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AH⊥BC,所以BH=1,BH=BC.因为点M为AH的中点,所以==(+)==+,即λ=,μ=,所以λ+μ=.答案:15.在△ABC中,AD为BC边上的中线,且AC=2AB=2AD=4,则BD=________.解析:如图所示,设BD=DC=x,因为∠ADB+∠ADC=180°,所以cos∠ADB=-cos∠ADC,又AC=2AB=2AD=4,由余弦定理得=-,解得x=(x=-舍去),故BD=.答案:16.一个矩形的周长为l,面积为S,给出:①(4,1);②(8,6);③(10,8);④.其中可作为(l,S)取值的实数对的序号是________.解析:依题意,设矩形的长、宽分别是a、b,则有6\n即l=2(a+b)≥4=4,≥4.对于①,注意到=4;对于②,注意到<=4;对于③,注意到=<=4;对于④,注意到=3>4.因此,其中可作为(l,S)取值的实数对的序号是①④.答案:①④17.定义在R上的减函数y=f(x)满足对于任意的x,y∈R,不等式f(x2-2x)≤-f(2y-y2)成立.已知函数y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称,则当1≤x≤4时,的取值范围为________.解析:函数y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称,则函数y=f(x)的图像关于点(0,0)对称,即函数y=f(x)为奇函数,又因为函数y=f(x)为减函数,故由f(x2-2x)≤-f(2y-y2),得f(x2-2x)≤f(y2-2y),得x2-2x≥y2-2y,即(x-y)·(x+y-2)≥0,故当1≤x≤4时,该不等式表示的图形是如图所示的阴影部分,而的几何意义是区域内的点与原点连线的斜率,可得斜率的取值范围是.答案:6