五、三角形中的边角转换一、选择题1．【2022届天津市南开中学高三上学期第一次月考】在中，(分别为角的对边)，则的形状为（）直角三角形等边三角形等腰三角形等腰三角形或直角三角形【答案】A2．【2022届陕西省西安中学高三10月月考】的内角的对边分别为，若，，，则（）A.1或2B.2C.D.1【答案】B【解析】∵，，，∴由正弦定理得：，∴，由余弦定理得：,即，解得：c=2或c=1(经检验不合题意,舍去)，则c=2.故选：B.3．【2022届甘肃省天水市第一中学高三上第一次月考】在中，，若，则面积的最大值是（）A.B.4C.D.【答案】D-13-\n【解析】∵，由，，得，∴．又，∵，∴，∴当时，取得最大值，∴面积的最大值为，故选D．4．【2022届宁夏银川一中高三上第二次月考】在锐角中，角A,B,C所对角为a,b,c.若,则角A等于A.B.C.D.【答案】B【解析】由正弦定理得,选B.5．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，则（）A.B.C.D.【答案】A6．【2022届河北省武邑中学高三上第二次调研】在中，是-13-\n的对边，若成等比数列，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意可得：，结合正弦定理可得：.本题选择B选项.7．在中,角所对边长分别为,若,则的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】C8．【2022届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上第一次联考】在锐角ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若cosBb+cosCc=23sinA3sinC，cosB+3sinB=2，则a+c的取值范围（）A.(32,3]B.(32,3]C.[32,3]D.[32,3]【答案】B【解析】由题意cosBb+cosCc=23sinA3sinC可得：ccosB+bcosCbc=sinCcosB+sinBcosCbsinC=sinB+CbsinC=23sinA3sinC∴b=32cosB+3sinB=212cosB+32sinB=2sinB+π6=2-13-\n∴B+π6=π2,B=π3,bsinB=1∴A+B=2π30<C<2π3-A<π2,0<A<π2∴π6<A<π2a+c=sinA+sinC=sinA+sin2π3-A=32sinA+32cosA=3sinA+π6∵π6<A<π2,∴-32<3sinA+π6≤3故答案选B.9．【2022届河南省中原名校高三第三次联考】在中，，，分别为内角，，的对边，且，若，，则的面积为（）A.B.C.D.【答案】B10．在锐角三角形中，角所对的边分别为若，，且则的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】D-13-\n∴由正弦定理得，∴=；∵且，∴，∴；∴，∴，即的取值范围是．故选：D．11．【2022届福建省数学基地校高三单元过关联考】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的高为a，则的最大值是()A.8B.6C.3D.4【答案】D【解析】，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA，①-13-\n而条件中的“高”容易联想到面积，bcsinA，即a2＝2bcsinA，②将②代入①得：b2＋c2＝2bc(cosA＋sinA)，∴＝2(cosA＋sinA)＝4sin(A＋)，当A＝时取得最大值4，故选D．12．【2022届衡水金卷全国高三大联考】已知ΔABC的内角A ， B ， C的对边分别是a ， b ， c，且a2+b2-c2⋅acosB+bcosA=abc，若a+b=2，则c的取值范围为（）A.0,2B.1,2C.12,2D.1,2【答案】B所以c2≥1，即c≥1，又c<a+b=2.所以1≤c<2.故选B.二、填空题13．【2022年浙江省源清中学高三9月月考】在中，若，三角形的面积，则________；三角形外接圆的半径为________.【答案】22【解析】，解得c=2.∴，解得，-13-\n∴，解得R=2.故答案为：2;2.14．【2022届深圳中学高三第一次测试】在中，，则的取值范围为______.【答案】15．【2022届河南省天一大联考高三上10月联考】在中，角所对的边分别为，若，且，则周长的取值范围为__________．【答案】【解析】依题意，故，则，因为，所以，化简得，-13-\n由于，故，因为，故，由已知及余弦定理得，即，可得，，即，当且仅当时，取等号，所以，故周长的取值范围为，故答案为.16．【2022届安徽省蚌埠市第二中学高三7月月考】已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，其满足a-3bcosC=c3cosB-cosA，点F在边AC上且AF=2FC，则ABBF的取值范围是__________．【答案】2,+∞【解析】根据正弦定理变形，a-3bcosC=c3cosB-cosA可化为sinAcosC-3sinBcosC=3cosBsinC-sinCcosA，即sin(A+C)=3sin(B+C)，所以sinB=3sinA，则ba=3，三、解答题-13-\n17．【2022届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，已知cos2A-3cosB+C=1（I）求角A的值；（II）若a=2，求b+c得取值范围.【答案】(1)A=π3(2)2<b+c≤4试题解析：（I）由cos2A-3cosB+C=1，得2cos2A+3cosA-2=0，即2cosA-1cosA+2=0，解得cosA=12.因为0<A<π，所以A=π3.（II）∵b2+c2-2bc⋅cosA=a2，a=2,A=π3，∵b2+c2-bc=4∴b+c2-3bc=4,∵bc≤b+c22,∴b+c2=4+3bc≤4+34b+c2∴b+c2≤16⇒b+c≤4又因为b+c>2，所以2<b+c≤4点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18．【2022届南宁市高三摸底联考】在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c1+cosB=b2-cosC.（1）求证：2b=a+c；（2）若B=π3，ΔABC的面积为43，求b.【答案】(1)证明见解析；(2)b=4.-13-\n【解析】试题分析：（1）由正弦定理边化角统一角，得sinA+sinC=2sinB，再用正弦定理角化边即证。（2）由角B的面积公式可得ac=16.结合（1）中a+c=2b和解B的余弦定理，三个方程三个未知数，可解得b.（2）∵B=π3，ΔABC的面积为43=12acsinB=34ac，∴34ac=43∴ac=16.∵由余弦定理可得：b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=a+c2-3ac.∵a+c=2b，∴可得：b2=4b2-3×16，解得：b=4.19．【2022届天津市南开中学高三上第一次月考】在中，角所对的边分别为，已知.(1)求角的大小；(2)若，且，求边；(3)若，求周长的最大值.【答案】(1);(2);(3).-13-\n试题解析:(1)中，因为，所以，所以，所以所以，所以.(2)由正弦定理得：，又，得，所以，所以又由余弦定理：所以(3)由余弦定理：所以，当且仅当时等号成立.故，即周长最大值为.点睛:本题考查正余弦定理解决三角形问题以及基本不等式的应用.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.20．【2022届广雅中学、东华中学、河南名校高三上第一次联考】在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a(1+cosC2)=3ccosA2.（1）求C；（2）若c=6，求ΔABC的面积S取到最大值时a的值.-13-\n【答案】（1）2π3，（2）2.试题解析：（1）因为a(1+cosC2)=3asinA2⇒sinA(1+cosC2)=3sinCsinA2，在ΔABC中，sinA>0，所以32sinC-12cosC=1，从而sin(C-π6)=1，因为0<C<π，所以-π6<C-π6<5π6，所以C-π6=π2⇒C=2π3.（2）由（1）知C=2π3，所以sinC=32，所以S=12absinC=34ab，因为cosC=a2+b2-c22ab⇒a2+b2=6-ab，因为a2+b2≥2ab，所以ab≤2，所以S=34ab≤32，当且仅当a=b=2时等号成立.21．【2022届河南省天一大联考高三上10月联考】已知ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a=42，D在线段AC上，∠DBC=π4.（Ⅰ）若ΔBCD的面积为24，求CD的长；（Ⅱ）若C∈0,π2，且c=122，tanA=13，求CD的长.【答案】（1）CD=45（2）CD=25试题解析：解：（Ⅰ）由SΔBCD=12⋅BD⋅BC⋅22=24，解得BD=12.在ΔBCD中，CD2=BC2+BD2-2BC⋅BD⋅cos45°，即CD2=32+BD2-8BD，CD=45.（Ⅱ）因为tanA=13，且A0,π，可以求得sinA=1010，cosA=31010.依题意，asinA=csinC，即421010=122sinC，解得sinC=31010.-13-\n因为C∈0,π2，故cosC=1010，故sin∠BDC=sinC+π4=255.在ΔBCD中，由正弦定理可得CDsin∠DBC=BCsin∠BDC，解得CD=25.22．【2022届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上第一次联考】在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c=2，且asinA-asinB=2sinC-bsinB.（1）若sinC+sin(B-A)=sin2A，求ΔABC的面积；（2）记边AB的中点为M，求CM的最大值.【答案】（1）233或3（2）3【解析】试题分析：1已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosC，将得出的等式代入计算求出cosC的值，即可确定出角C。2由CM=12CA+CB⟹CM2=14CA2+CB2+2CB⋅CA=14a2+b2+ab,又a2+b2=ab+4,即可求出CM的最大值。解析：（2）由于AB边的中点为M，故CM=12(CA+CB)⇒CM2=14(CA2+CB2+2CB∙CA)=14(a2+b2+ab)因为c=2且C=60°，故由余弦定理知，a2+b2=ab+4，于是CM2=12ab+1，而故，∴最大值为3（当且仅当a=b=c=2时取等）.-13-
