【高考领航】2022高考数学总复习8-6双曲线练习苏教版【A组】一、填空题1.(2022·高考湖南卷)设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为________.解析:双曲线的渐近线方程为-=0即3x±ay=0,∴a=2.答案:22.(2022·高考课标全国卷)设F1,F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为________.解析:设直线x=a与x轴交于点Q,由题意得∠PF2Q=60°,|F2P|=|F1F2|=2c,|F2Q|=a-c,∴a-c=×2c,e==.答案:3.已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|=________.解析:由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=2a.即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4a2.①由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=4c2,②②-①得,|PF1|·|PF2|=4(c2-a2)=4b2=4.答案:44.(2022·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1的离心率为,则m的值为________.解析:∵m2+4>0,∴a2=m,b2=m2+4,c2=m2+m+4,8\n∴==5,∴m=2.答案:55.(2022·高考江西卷)若双曲线-=1的离心率e=2,则m=________.解析:∵a2=16,b2=m,c=,∴e==2,解得m=48.答案:486.(2022·高考北京卷)已知双曲线x2-=1(b>0)的一条渐近线的方程为y=2x,则b=________.解析:∵双曲线的渐近线为x2-=0,即y=±bx(b>0),∴b=2.答案:27.(2022·高考辽宁卷)已知点(2,3)在双曲线C:-=1(a>0,b>0)上,C的焦距为4,则它的离心率为________.解析:由已知,得解得∴e==2.答案:2二、解答题8.已知双曲线C:-y2=1,P为C上的任意点.(1)求证:点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数;(2)设点A的坐标为(3,0),求|PA|的最小值.解:(1)证明:设P(x1,y1)是双曲线上任意一点,该双曲线的两条渐近线方程分别是x-2y=0和x+2y=0.点P(x1,y1)到两条渐近线的距离分别是和,它们的乘积是·==.8\n∴点P到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.(2)设P的坐标为(x,y),则|PA|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+-1=2+.∵|x|≥2,∴当x=时,|PA|2的最小值为,即|PA|的最小值为.9.已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线l:x=,不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点,直线AB、AC分别交l于点M、N.(1)求E的方程;(2)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.解:(1)设P(x,y)(y≠0),根据题意得=2,化简得:x2-=1(y≠0).∴E的方程为x2-=1(y≠0).(2)设直线BC方程为x=my+2,B(x1,y1),C(x2,y2).由得(3m2-1)y2+12my+9=0.由题意3m2-1≠0且Δ>0,y1+y2=-,y1·y2=.又直线AB斜率k==,∴直线AB方程y=(x+1),∴M点坐标为,8\n同理N.∴=,=,∴·=+=+=-=0,∴⊥,即以线段MN为直径的圆过点F.【B组】一、填空题1.(2022·高考湖北卷)如图,双曲线-=1(a,b>0)的两顶点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,切点分别为A,B,C,D.则(1)双曲线的离心率e=________;(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=________.解析:(1)由题意知在Rt△F1OB2中,OB⊥F1B2且OF1=c,OB2=b,OB=a,∵|F1B2|·|OB|=|OF1|·|OB2|,∴a=bc,∴a2(b2+c2)=b2c2,∴+=·,∴e2-1+e2=(e2-1)e2,即e4-3e2+1=0,∴e2=,∴e=.∵e>1,∴e=.(2)记∠B2OB=θ,则AB=2asinθ,BC=2acosθ,其中sinθ=,cosθ=,∴8\nS2=|AB|·|BC|=,又∵S1=2bc,∴==2·2=(e2-1)e2=××=.答案:(1) (2)2.(2022·高考浙江卷)如图所示,F1,F2分别是双曲线C:-=1(a,b>0)的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是________.解析:直线BF1的方程为y=x+b,由得P,由得Q.从而有线段PQ的中点为N.又由|F1F2|=|F2M|,知M(3c,0),则kMN=,又kMN×kBF1=-1,得a2=2b2,即2c2=3a2,故e=.答案:3.(2022·高考福建卷)已知双曲线-=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于________.解析:∵右焦点为(3,0),∴c=3,又∵c2=a2+b2=a2+5=9,∴a2=4,a=2,∴e==.答案:4.(2022·高考辽宁卷)已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一8\n点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为________.解析:设|PF1|=m,|PF2|=n,则解得mn=2,∴(m+n)2=m2+n2+2mn=8+4=12,∴m+n=2,即|PF1|+|PF2|=2.答案:25.(2022·高考重庆卷)设P为直线y=x与双曲线-=1(a>0,b>0)左支的交点,F1是左焦点,PF1垂直于x轴,则双曲线的离心率e=________.解析:∵PF1⊥x轴,∴xP=-c,代入-=1,得yp=±,∵P在y=x上,∴yp=-,∴3b=c,∴9b2=c2,∴9(c2-a2)=c2,∴=,∴=,∴e=.答案:6.(2022·太原五中月考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的方程为________.解析:由已知得解之得∴双曲线方程为-=1.答案:-=17.(2022·徐州二模)过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上,则双曲线的离心率为________.解析:如图所示,不妨设F为右焦点,过F作FP垂直8\n于一条渐近线,垂足为P,过P作PM⊥OF于M.由已知得M为OF的中点,由射影定理知|PF|2=|FM||FO|,又F(c,0),渐近线方程为bx-ay=0,∴|PF|==b,∴b2=·c,即2b2=c2=a2+b2,∴a2=b2,∴e===.答案:二、解答题8.(2022·江苏泰州三模)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为2x+y=0,且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程;(2)设P为双曲线上一点,A,B两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一、第二象限,若=,求△AOB的面积.解:(1)依题意得解得故双曲线的方程为-x2=1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y=±2x,设A(m,2m),B(-n,2n),其中m>0,n>0,由=得点P的坐标为,将点P的坐标代入-x2=1,整理得mn=1,设∠AOB=2θ,则tanθ=,从而sin2θ=,又|OA|=m,|OB|=n,∴S△AOB=|OA||OB|sin2θ=2mn=2.9.(2022·高考上海卷)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:2x2-y2=1.(1)设F是C的左焦点,M是C右支上一点,若|MF|=2,求点M的坐标;(2)过C的左顶点作C8\n的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积;(3)设斜率为k(|k|<)的直线l交C于P、Q两点.若l与圆x2+y2=1相切,求证:OP⊥OQ.解:(1)(1)双曲线C:-y2=1,左焦点F.设M(x,y),则|MF|2=2+y2=2,由M点是右支上一点,知x≥,所以|MF|=x+=2,得x=.所以M.(2)左顶点A,渐近线方程:y=±x.过点A与渐近线y=x平行的直线方程为:y=,即y=x+1.解方程组得所求平行四边形的面积为S=|OA||y|=.(3)证明:设直线PQ的方程是y=kx+b.因直线PQ与已知圆相切,故=1,即b2=k2+1(*).由,得(2-k2)x2-2kbx-b2-1=0.设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则又y1y2=(kx1+b)(kx2+b),所以·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=++b2=.由(*)知,·=0,所以OP⊥OQ.8