【高考领航】2022高考数学总复习5-4通项公式的求法练习苏教版【A组】一、填空题1．已知数列{an}中，满足a1＝6，an＋1＋1＝2(an＋1)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．解析：∵an＋1＋1＝2(an＋1)∴＝2(常数)∴{an＋1}是以7为首项，2为公比的等比数列∴an＋1＝7·2n－1 ∴an＝7·2n－1－1答案：an＝7·2n－1－1.2．已知数列{an}满足：a1＋a2＋…＋an＝2n2－3n＋1，则a4＋a5＋…＋a10＝________.解析：a4＋a5＋a6＋…＋a10＝(a1＋a2＋…＋a10)－(a1＋a2＋a3)＝(2×102－3×10＋1)－(2×32－3×3＋1)＝161.答案：1613．设数列{an}是首项为1的正项数列，且当n≥2时，Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，则an＝________.解析：∵Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1∴－＝2.∴{}是以＝＝1为首项，2为公差的等差数列∴＝1＋2(n－1)＝2n－1∴Sn＝当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n＝1时也适合上式∴an＝.答案：4．等差数列{an}是递增数列，且a1，a3，a9成等比数列，S5＝a，则数列{an}的通项公式为________．解析：由题知：a＝a1a96\n即(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)∴d2＝a1d又d≠0 ∴a1＝d①∵S5＝a ∴5a1＋d＝(a1＋4d)2②由①②得a1＝ d＝ ∴an＝n.答案：an＝n5．等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为________．解析：∵an＝2n＋1，∴a1＝3，d＝2，Sn＝3n＋×2＝n2＋2n，＝n＋2.∴是首项为3，公差为1的等差数列，其前10项和为10×3＋×1＝75.答案：756．已知数列{an}中，a1＝3，an＝3n－1·an－1(n≥2)，则an＝________.解析：n≥2时an＝3n－1·an－1 ∴＝3n－1∴＝32－1＝31，＝32……＝3n－2，＝3n－1∴＝3×32×33×…×3n－2×3n－1＝31＋2＋3＋…＋(n－1)＝3∴an＝3×a1＝3×3＝3＋1＝3－＋1，n＝1也适合．答案：3－＋17．在数列{an}中，已知(n2＋n)an＋1＝(n2＋2n＋1)an，n∈N*，且a1＝1则an＝________.解析：∵(n2＋n)an＋1＝(n2＋2n＋1)an∴nan＋1＝(n＋1)an6\n由a1＝1知an≠0∴＝.∴＝，＝，…，＝(n≥2)∴＝××…×＝n，∴an＝n(n≥2)，n＝1也适合∴an＝n.答案：n二、解答题8．(2022·高考大纲卷)已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．解：(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3；由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝(a1＋a2)＝6.(2)由题设知a1＝1.当n>1时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，整理得an＝an－1.于是a2＝a1，a3＝a2，……an－1＝an－2，an＝an－1.将以上n－1个等式中等号两端分别相乘，整理得an＝(n>1)，又n＝1时，上式成立．综上可知，{an}的通项公式an＝.9．已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数点(n，Sn)都在函数f(x)＝2x＋26\n－4的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an·log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)由题：Sn＝2n＋2－4当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝2n＋2－2n＋1＝2n＋1当n＝1时，a1＝4＝21＋1，适合上式．∴an＝2n＋1.(2)∵bn＝anlog2an＝(n＋1)·2n＋1∴Tn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1①2Tn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋(n＋1)·2n＋2②②－①得：Tn＝－23－23－24－25－…－2n＋1＋(n＋1)·2n＋2＝－23－＋(n＋1)·2n＋2＝－23－23(2n－1－1)＋(n＋1)·2n＋2＝(n＋1)·2n＋2－23·2n－1＝(n＋1)·2n＋2－2n＋2＝n·2n＋2.【B组】一、填空题1．已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，则a2009＝________；a2014＝________.解析：a2009＝a503×4－3＝1，a2014＝a2×1007＝a1007＝a4×252－1＝0.答案：1；02．设a1＝2，an＋1＝，bn＝，n∈N*，则数列{bn}的通项bn＝________.解析：∵bn＋1＝＝＝＝＝2bn，∴bn＋1＝2bn.又b1＝4，∴bn＝4·2n－1＝2n＋1.答案：2n＋13．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于________．解析：由题意可知：an＋1＝an＋ln，即an＋1－an＝ln(n＋1)－lnn，于是an＝(an－an－1)＋(an－1－aa－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝lnn－ln(n－1)＋ln(n6\n－1)－ln(n－2)＋…＋ln2－ln1＋2＝2＋lnn.答案：2＋lnn4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n.第k项满足5<ak<8，则k等于________．解析：an＝⇒an＝⇒an＝2n－10.∵5<ak<8，∴5<2k－10<8，∴<k<9.又∵k∈N*，∴k＝8.答案：85．(2022·江苏连云港二模)数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列的第2013项为________．解析：∵a1＝，∴a2＝2a1－1＝，∴a3＝2a2＝，∴a4＝2a3＝，a5＝2a4－1＝，a6＝2a5－1＝，…，∴该数列的周期T＝4.∴a2013＝a1＝.答案：6．(2022·泰州模拟)已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－(n≥2)，则a16＝________.解析：a1＝，a2＝1－2＝－1，a3＝1＋1＝2，a4＝1－＝，∴an以3为周期，∴16＝1＋3×5，∴a16＝a1＝.答案：7．(2022·江南十校联考)数列{an}的通项公式为an＝an2＋n，若满足a1<a2<a3<a4<a5，且an>an＋1对n≥8恒成立，则实数a的取值范围是________．答案：二、解答题8．(2022·淮安模拟)已知数列{an}满足：a1＝1,2n－1an＝an－1(n∈N，n≥2)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)这个数列从第几项开始及其以后各项均小于？解：(1)an＝··…···a1＝n－1·n6\n－2·…·2·1＝1＋2＋…＋(n－1)＝，∴an＝.(2)当n≤4时，≤6，an＝≥，当n≥5时，≥10，an＝≤.∴从第5项开始各项均小于.9．(2022·江苏南通模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＋a13＝34，S3＝9.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式；(2)设数列{bn}的通项公式为bn＝，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设{an}的公差为d，由已知得即解得a1＝1，d＝2，∴an＝2n－1，Sn＝n2.(2)由(1)知bn＝，要使b1，b2，bm成等差数列，则2b2＝b1＋bm，即2×＝＋，整理得m＝3＋.因为m，t为正整数，所以t只能取2,3,5，当t＝2时，m＝7；当t＝3时，m＝5；当t＝5时，m＝4.故存在正整数t，例得b1，b2，bm成等差数列．6
