集合与常用逻辑用语(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知命题p：∃x>1，x2－4<0，则綈p是( )A．∃x>1，x2－4≥0 B．∃x≤1，x2－4<0C．∀x≤1，x2－4≥0D．∀x>1，x2－4≥0解析：选D 命题是存在量词命题，则否定是全称量词命题，即∀x>1，x2－4≥0，故选D.2．满足条件M∪{a}＝{a，b}的集合M的个数是( )A．4B．3C．2D．1解析：选C 因为M∪{a}＝{a，b}，所以M⊆{a，b}且b∈M，所以M可能为{b}或{a，b}，共2个．3．(2020·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( )A．2B．3C．4D．6解析：选C 由题意得A∩B＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A∩B中元素的个数为4，选C.4．已知全集U＝R，设集合A＝{x|x≥1}，集合B＝{x|x≥2}，则A∩(∁UB)＝( )A．{x|1≤x≤2}B．{x|1<x<2}C．{x|1<x≤2}D．{x|1≤x<2}解析：选D ∵B＝{x|x≥2}，∴∁UB＝{x|x<2}．又A＝{x|x≥1}，∴A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2}．5．已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤3}，x－a≥0，若命题p是真命题，则实数a的取值范围是( )A．{a|a<1}B．{a|a>3}C．{a|a≤1}D．{a|a≥3}解析：选C 由p是真命题，可知a≤(x)min，因为1≤x≤3，因此a≤1，故选C.6．已知非空集合M，P，则MP的充要条件是( )A．∀x∈M，x∉PB．∀x∈P，x∈M6
C．∃x1∈M，x1∈P且x2∈M，x2∉PD．∃x∈M，x∉P解析：选D 由MP，可得集合M中存在元素不在集合P中，结合各选项可得，MP的充要条件是∃x∈M，x∉P.故选D.7．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”．则“有志”是“到达奇伟、瑰怪，非常之观”的( )A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件解析：选D 非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．8．定义差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可表示下列图中阴影部分的为( )解析：选A 如图所示，A－B表示图中阴影部分，故C－(A－B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分，故选A.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．下列四个命题中的假命题为( )A．∃x∈N，1<4x<3B．∃x∈Z，5x－1＝0C．∀x∈Q，x2－1＝0D．∀x∈R，x2＋x＋2>0解析：选ABC 由1<4x<3得<x<，因此不存在x∈N满足条件，因此选项A中命题为假命题；由5x－1＝0得x＝∉Z，因此选项B中命题为假命题；由x2－1＝0得x＝±1，不具有任意性，因此选项C中命题为假命题；x2＋x＋2＝＋>0恒成立，因此选项D6
中命题为真命题．故选A、B、C.10．集合U，S，T，F的关系如图所示，那么下列关系中正确的是( )A．STB．T∁USC．F∁USD．T∁UF解析：选AC 由题图知S是T的子集，S与F无公共元素，则A、C正确．11．定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，设A＝{，}，B＝{1，}，则( )A．当x＝，y＝时，z＝1B．x可取两个值，y可取两个值，z＝(x＋y)×(x－y)有4个式子C．A⊗B中有3个元素D．A⊗B中所有元素之和为3解析：选BCD 当x＝，y＝时，z＝(＋)×(－)＝0，A错误；由于A＝{，}，B＝{1，}，则z有(＋1)×(－1)＝1，(＋)×(－)＝0，(＋1)×(－1)＝2，(＋)×(－)＝1四个式子，B正确；由集合中元素的互异性，得集合A⊗B有3个元素，元素之和为3，C、D正确．12．下列说法中正确的是( )A．“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分条件B．命题p：∀x∈R，x2>0，则綈p：∃x∈R，x2<0C．命题“若a>b>0则<”的否定是假命题D．“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件解析：选AC 对于选项A，a>1，b>1时，易得ab>1故A正确；对于选项B，全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题p：∀x∈R，x2>0的否定为綈p：∃x∈R，x2≤0，故B错误；对于选项C，其否定为“若a>b>0，则≥”，当a＝2，b＝1时，显然为假命题，故C正确；对于选项D，由“a>b”并不能推出“a2>b2”，如a＝1，b＝－1，故D错误．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．命题“同位角相等”的否定为________________．解析：全称量词命题的否定是存在量词命题．答案：有的同位角不相等14．已知集合A＝{7，2m－1}，B＝{7，m2}，若A＝B，则实数m＝________．解析：若A＝B，则m2＝2m－1，即m2－2m＋1＝0，即m＝1.6
答案：115．若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分条件，则a的取值范围是________．解析：若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分条件，则{x|x≤a}{x|x<－1}，∴a<－1.答案：{a|a<－1}16．已知集合A＝{x|－3<x≤6}，B＝{x|b－3<x<b＋7}，M＝{x|－4≤x<5}，全集U＝R.(1)A∩M＝________；(2)若B∪(∁UM)＝R，则实数b的取值范围为________．解析：(1)因为A＝{x|－3<x≤6}，M＝{x|－4≤x<5}，所以A∩M＝{x|－3<x<5}．(2)因为M＝{x|－4≤x<5}，所以∁UM＝{x|x<－4或x≥5}，又B＝{x|b－3<x<b＋7}，B∪(∁UM)＝R.所以解得－2≤b<－1.所以实数b的取值范围是{b|－2≤b<－1}．答案：(1){x|－3<x<5} (2){b|－2≤b<－1}四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定，并判断真假．(1)有一个奇数不能被3整除；(2)∀x∈Z，x2与3的和不等于0；(3)三角形的三个内角都为60°；(4)存在三角形至少有两个锐角．解：(1)是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被3整除，假命题．(2)是全称量词命题，否定为：∃x∈Z，x2与3的和等于0，假命题．(3)是全称量词命题，否定为：存在一个三角形的三个内角不都为60°，真命题．(4)是存在量词命题，否定为：每个三角形至多有一个锐角，假命题．18．(本小题满分12分)求证：方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－<m<0.6
证明：(1)充分性，∵－<m<0，∴方程x2－2x－3m＝0的判别式Δ＝4＋12m>0，且－3m>0，∴方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根．(2)必要性：若方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根，则有解得－<m<0.综合(1)(2)知，方程x2－2x－3m＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是－<m<0.19．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2－ax＋3＝0，a∈R}．(1)若1∈A，求实数a的值；(2)若集合B＝{x|2x2－bx＋b＝0，b∈R}，且A∩B＝{3}，求A∪B.解：(1)∵1∈A，∴1－a＋3＝0，∴a＝4.(2)∵A∩B＝{3}，∴3∈A，3∈B，∴解得∴A＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}，B＝{x|2x2－9x＋9＝0}＝，∴A∪B＝.20．(本小题满分12分)设命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0，命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0，若p，q都为真命题，求实数m的取值范围．解：若命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0为真命题，则Δ＝4－4(m－3)≥0，解得m≤4；若命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0为真命题，则Δ＝4(m－5)2－4(m2＋19)<0，解得m>.又p，q都为真命题，所以实数m的取值范围是{m|m≤4}∩＝.21．(本小题满分12分)在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；③A∩B＝∅，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．问题：已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋1}，B＝{x|－1≤x≤3}．(1)当a＝2时，求A∪B；6
(2)若________，求实数a的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：(1)当a＝2时，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|－1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤3}．(2)若选择①A∪B＝B，则AB，因为A＝{x|a－1≤x≤a＋1}，所以A≠∅，又B＝{x|－1≤x≤3}，所以解得0≤a≤2，所以实数a的取值范围是0≤a≤2.若选择②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则AB，因为A＝{x|a－1≤x≤a＋1}，所以A≠∅，又B＝{x|－1≤x≤3}，所以解得0≤a≤2，所以实数a的取值范围是0≤a≤2.若选择③，A∩B＝∅，因为A＝{x|a－1≤x≤a＋1}，B＝{x|－1≤x≤3}，所以a－1>3或a＋1<－1，解得a>4或a<－2.22．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．(1)当a＝3时，求A∩B；(2)若“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件，且A≠∅，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝3时，A＝{x|－1≤x≤5}，又B＝{x|x≤1或x≥4}，∴A∩B＝{x|－1≤x≤1或4≤x≤5}．(2)∵B＝{x|x≤1或x≥4}，∴∁RB＝{x|1<x<4}．由“x∈A”是“x∈∁RB”的充分不必要条件，得A∁RB，又A＝{x|2－a≤x≤2＋a}，A≠∅，∴∴0≤a<1.∴a的取值范围是{a|0≤a<1}．6
