集合与常用逻辑用语A卷—学考测评卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x>3}，则M∪N＝( )A．{x|x>－3} B．{x|－3<x≤5}C．{x|3<x≤5}D．{x|x≤5}解析：选A 在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x>－3}．2．若集合A＝{－3，－2，－1，0，1，2}，集合B＝{y|y＝|x＋1|，x∈A}，则B＝( )A．{1，2，3}B．{0，1，2}C．{0，1，2，3}D．{－1，0，1，2，3}解析：选C 由y＝|x＋1|，x∈A，知当x＝－3，1时，y＝2；当x＝－2，0时，y＝1；当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3.故得集合B＝{0，1，2，3}，故选C.3．已知集合U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，集合B＝{2，4}，则(∁UA)∪B＝( )A．{2，4，5}B．{1，3，4}C．{1，2，4}D．{2，3，4，5}解析：选A 由题意知∁UA＝{2，5}，所以(∁UA)∪B＝{2，4，5}．故选A.4．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：选B 量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”．故选B.5．满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是( )A．1B．2C．3D．4解析：选B 集合M必须含有元素a1，a2，并且不能含有元素a3，故M＝{a1，a2}或M＝{a1，a2，a4}．12
6．已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为( )A．－2B．2C．4D．2或4解析：选A 若a＝2，则|a|＝2，不符合集合元素的互异性，则a≠2；若|a|＝2，则a＝2或－2，可知a＝2舍去，而当a＝－2时，a－2＝－4，符合题意；若a－2＝2，则a＝4，|a|＝4，不符合集合元素的互异性，则a－2≠2.综上，可知a＝－2.故选A.7．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B中的所有元素之和为( )A．0B．2C．3D．6解析：选D 依题意，A*B＝{0，2，4}，其所有元素之和为6，故选D.8．如图，U为全集，M、P、S是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A．(M∩P)∩SB．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩(∁US)D．(M∩P)∪(∁US)解析：选C 图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集，即是∁US的子集．则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩(∁US)，故选C.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．下列命题正确的有( )A．0是最小的自然数；B．每个正方形都有4条对称轴；C．∀x∈{1，－1，0}，2x＋1＞0D．∃x∈N，使x2≤x解析：选ABD 对于A：根据自然数集的定义知，最小的自然数是0；命题A正确；对于B：由正方形的图形特点知，每个正方形都有两条对角线和过对边中点的直线四条对称轴，命题B正确；对于C：这是全称量词命题，当x＝－1时，－2×1＋1＜0，命题C错误；对于D：这是存在量词命题，当x＝1或x＝0时，可得x2≤x成立；命题D正确，故选A、B、D.10．集合M＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系表述正确的有( )12
A．S⊆PB．S⊆MC．M⊆SD．P⊆S解析：选AB M表示奇数的集合，而6m＋1为奇数，故S⊆M，故B正确．取9∈M，但9∉S，故C错误．因为6m＋1＝3×2m＋1，故6m＋1∈P，故S⊆P，A正确．取10∈P，但10∉S，故D错误．故选A、B.11．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合M＝{3，4，5}，N＝{1，2，5}，则集合{1，2}可以表示为( )A．M∩NB．(∁UM)∩NC．(∁UN)∩MD.∩N解析：选BD A．M∩N＝{5}；B.(∁UM)∩N＝{1，2}；C.(∁UN)∩M＝{3，4}；D.(∁U(M∩N))∩N＝{1，2}．故选B、D.12．我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁SA＝{x|x∈S，且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A－B.据此，下列说法中正确的是( )A．若A⊆B，则A－B＝∅B．若B⊆A，则A－B＝AC．若A∩B＝∅，则A－B＝AD．若A∩B＝C，则A－B＝A－C解析：选ACD 由差集的定义可知，对于选项A，若A⊆B，则A中的元素均在B中，则A－B＝∅，故选项A正确；对于选项B，若B⊆A，则B中的元素均在A中，则A－B＝∁AB≠A，故选项B错误；对于选项C，若A∩B＝∅，则A、B无公共元素，则A－B＝A，故选项C正确；对于选项D，若A∩B＝C，则A－B＝∁AC＝A－C，故选项D正确；故选A、C、D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知集合A＝{1，2，a2－2a}，若3∈A，则实数a＝________．解析：∵3∈A，A＝{1，2，a2－2a}，∴a2－2a＝3，解得a＝－1或3.答案：－1或314．若命题p：∀a，b∈R，方程ax2＋b＝0恰有一解，则綈p________．答案：∃a，b∈R，方程ax2＋b＝0无解或至少有两解15．若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分条件，则a的取值范围是________．解析：若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分条件，12
则{x|x≤a}{x|x<－1}，∴a<－1.答案：{a|a<－1}16．已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}．(1)当m＝2时，求M∩N＝________；(2)当M∩N＝M时，则实数m的值为________．解析：(1)由题意得M＝{2}，当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，则M∩N＝{2}．(2)因为M∩N＝M，所以M⊆N，因为M＝{2}，所以2∈N.所以2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，即4－6＋m＝0，解得m＝2.答案：(1){2} (2)2四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：∀x∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根；(2)q：∃x∈R，使得x2＋x＋1≤0.解：(1)綈p：∃x∈R，方程x2＋x－m＝0无实数根；由于当m＝－1时，方程x2＋x－m＝0的根的判别式Δ＜0，∴方程x2＋x－m＝0无实数根，故其是真命题．(2)綈q：∀x∈R，使得x2＋x＋1＞0；由于x2＋x＋1＝＋>0，故其是真命题．18．(本小题满分12分)设集合A＝{x|a－1＜x＜2a，a∈R}，B＝{x|－2＜x＜4}．(1)当a＝0时，求集合∁RA；(2)当A⊆B时，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝0时，A＝{x|－1＜x＜0}，∁RA＝{x|x≤－1或x≥0}．(2)若A⊆B，则有：①A＝∅，即2a≤a－1，即a≤－1，符合题意；②A≠∅，有解得，－1＜a≤2，综合①②得，a≤2.12
19．(本小题满分12分)已知A＝{x|－3≤x－2≤1}，B＝{x|a－1≤x≤a＋2}(a∈R)．(1)当a＝1时，求A∩B；(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．解：(1)a＝1时，B＝{x|0≤x≤3}，且A＝{x|－1≤x≤3}，∴A∩B＝[0，3]．(2)∵A∪B＝A，∴B⊆A，由题意显然B≠∅，∴解得0≤a≤1，∴实数a的取值范围为[0，1]．20．(本小题满分12分)已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|2≤x≤4}．(1)求A∩(∁UB)；(2)若集合C＝{x|a≤x≤4a，a＞0}，且满足C∪A＝A，C∩B＝B，求实数a的取值范围．解：(1)∁UB＝{x|x＜2或x＞4}，∴A∩(∁UB)＝{x|－1≤x＜2或4＜x≤5}．(2)由C∪A＝A得C⊆A，解得－1≤a≤，由C∩B＝B得B⊆C，解得1≤a≤2.从而实数a的取值范围为.21．(本小题满分12分)在①{x|a－1≤x≤a}；②{x|a≤x≤a＋2}；③{x|<x<＋3}，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的值；若a不存在，请说明理由．已知集合A＝________，B＝{x|1≤x≤3}．若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：由题意知，A不为空集，B＝{x|1≤x≤3}．当选条件①时，因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A⊆B，解得2≤a≤3.所以实数a的取值范围是[2，3]．当选条件②时，因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A⊆B，解得a＝1.此时A＝B，不符合条件．故不存在a的值满足题意．当选条件③时，因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A⊆B，该不等式组无解，故不存在a的值满足题意．12
22．(本小题满分12分)已知全集U＝R，集合A＝{x|a－1<x<2a＋1}，B＝{x|0<x<1}．(1)若a＝，求A∩B；(2)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．解：(1)若a＝，则A＝，又B＝{x|0<x<1}，∴A∩B＝{x|0<x<1}．(2)当A＝∅时，a－1≥2a＋1，∴a≤－2，此时满足A∩B＝∅；当A≠∅时，由A∩B＝∅，B＝{x|0<x<1}，易得或∴a≥2或－2<a≤－.综上可知，实数a的取值范围是.B卷—高考滚动测评卷 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“∃x∈R，2021x2－2x＋1≤0”的否定是( )A．∃x∈R，2021x2－2x＋1>0B．∀x∈R，2021x2－2x＋1≤0C．∃x∈R，2021x2－2x＋1≥0D．∀x∈R，2021x2－2x＋1>0解析：选D 先改量词为∀，再对结论进行否定，故其否定为∀x∈R，2021x2－2x＋1>0，故选D.2．设集合A＝{1，2，3}，B＝{x|－1<x<2，x∈Z}，则A∪B＝( )A．{1} B．{1，2}C．{0，1，2，3}D．{－1，0，1，2，3}解析：选C 因为A＝{1，2，3}，B＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0，1}，所以A∪B＝{0，1，2，3}，故选C.3．“x<0或x>4”是“x>4”的( )12
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要解析：选B 由“x<0或x>4”⇒/“x>4”，但“x>4”⇒“x<0或x>4”，故“x<0或x>4”是“x>4”的必要不充分条件．故选B.4．已知全集U＝R，设集合A＝{x|x≥1}，集合B＝{x|x≥2}，则A∩(∁UB)＝( )A．{x|1≤x≤2}B．{x|1<x<2}C．{x|1<x≤2}D．{x|1≤x<2}解析：选D ∵B＝{x|x≥2}，∴∁UB＝{x|x<2}．又A＝{x|x≥1}，∴A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2}．5．(2021·河北辛集中学高一月考)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|0<x<6，x∈N}，则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为( )A．4B．8C．7D．16解析：选B 结合题意可得A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4，5}．令集合M＝{3，4，5}，可知集合C中一定有元素1，2，可能有集合M中的元素，结合子集个数公式可得，集合C的个数为23＝8.6．2021年文汇高中学生运动会，某班62名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，则田赛和径赛都参加的学生人数为( )A．7B．8C．10D．12解析：选B 由题可得参加比赛的学生共有31人，因为card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，所以田赛和径赛都参加的学生人数为16＋23－31＝8.故选B.7．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x<2}，且A∪(∁RB)＝R，则a满足( )A．{a|a≥2}B．{a|a>2}C．{a|a<2}D．{a|a≤2}解析：选A ∁RB＝{x|x≥2}，则由A∪(∁RB)＝R，得a≥2，故选A.8．定义集合运算A⊗B＝{x|x＝a×b，a∈A，b∈B}，设A＝{0，1}，B＝{3，4，5}，则集合A⊗B的真子集个数为( )A．16B．15C．14D．8解析：选B A＝{0，1}，B＝{3，4，5}，A⊗B＝{x|x＝a×b，a∈A，b∈B}＝{0，3，4，5}，其真子集个数为24－1＝15.故选B.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，12
有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．下列命题正确的是( )A．存在x<0，x2－2x－3＝0B．对于一切实数x<0，都有|x|>xC．∀x∈R，＝xD．已知an＝2n，bm＝3m，对于任意n，m∈N*，an≠bm解析：选AB 因为x2－2x－3＝0的根为x＝－1或3，所以存在x0＝－1<0，使x－2x0－3＝0，故A为真命题；B显然为真命题；因为＝|x|，故C为假命题；当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故D为假命题．10．命题“∀1≤x≤3，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )A．a≥9B．a≥11C．a≥10D．a≤10解析：选BC 当该命题是真命题时，只需当1≤x≤3时，a≥(x2)max.因为1≤x≤3时，y＝x2的最大值是9，所以a≥9.因为a≥9⇒/a≥10，a≥10⇒a≥9，又a≥9⇒/a≥11，a≥11⇒a≥9，故选B、C.11．下列结论中错误的是( )A．∀n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题B．∀n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题C．∃n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题D．∃n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是假命题解析：选ABD 当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A、B、D错误，C项正确．12．设P是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是一个数域，则下列说法正确的是( )A．数域必含有0，1两个数B．整数集是数域C．若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域D．数域必为无限集解析：选AD 数集P有两个元素m，n，则一定有m－m＝0，＝1(设m≠0)，A正确；因为1∈Z，2∈Z，∉Z，所以整数集不是数域，B不正确；令数集M＝Q∪{}，则1∈M，∈12
M，但1＋∉M，所以C不正确；数域中有1，一定有1＋1＝2，1＋2＝3，递推下去，可知数域必为无限集，D正确．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若命题“∃x∈R，使得－1≤a≤3”是假命题，则实数a的取值范围为________．解析：因命题“∃x∈R，使得－1≤a≤3”是假命题，则∀x∈R，a>3或a<－1是真命题，故a>3或a<－1.答案：a>3或a<－114．集合M＝{1，2，a，a2－3a－1}，N＝{－1，3}，若3∈M且N⃘M，则a的取值为________．解析：①若a＝3，则a2－3a－1＝－1，即M＝{1，2，3，－1}，显然N⊆M，不合题意．②若a2－3a－1＝3，即a＝4或a＝－1.当a＝－1时，N⊆M，舍去．当a＝4时，M＝{1，2，4，3}，满足要求．答案：415．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________；(2)“x<5”是“x<3”的_______．解析：(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．(2)因为由“x<5”不能推出“x<3”；由“x<3”能推出“x<5”；所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件．答案：(1)充要条件 (2)必要不充分条件16．某班共有学生40名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是________．解析：设只会乒乓球、篮球、排球分别为x1，x2，x3.会乒乓球和篮球，篮球和排球，乒乓球和排球分别为y1，y2，y3，由题意可知x1＋x2＋x3＋y1＋y2＋y3＝40，x2＋x3＋y2＝18，x1＋x3＋y3＝24，x1＋x2＋y1＝16，求y1＋y2＋y3.把第一个式子的2倍减去后三个式子得y1＋y2＋y3＝80－(18＋24＋16)＝22.答案：22四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12
17．(本小题满分10分)将下列命题用量词等符号表示，并判断命题的真假：(1)所有实数的平方都是正数；(2)任何一个实数除以1，仍等于这个实数．解：(1)命题为：∀x∈R，x2>0.易得当x＝0时x2＝0，故原命题为假命题．(2)命题为：∀x∈R，＝x，易得为真命题．18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，(1)若A中只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；(2)若A是空集，求a的取值范围；(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．解：(1)若A中只有一个元素，则方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个实根，当a＝0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x＝－，当a≠0，此时Δ＝4－4a＝0，解得a＝1，此时x＝－1.(2)若A是空集，则方程ax2＋2x＋1＝0无解，此时Δ＝4－4a＜0，解得a＞1.(3)若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素，由(1)(2)得满足条件的a的取值范围是a＝0或a≥1.19．(本小题满分12分)求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.证明：充分性：∵m≥2，∴Δ＝m2－4≥0，方程x2＋mx＋1＝0有实根，设x2＋mx＋1＝0的两根为x1，x2，由x1x2＝1>0，∴x1、x2同号，又x1＋x2＝－m≤－2，∴x1，x2同为负根；必要性：∵x2＋mx＋1＝0的两个实根x1，x2均为负，且x1x2＝1，∴m－2＝－(x1＋x2)－2＝－－2＝－＝－≥0，12
∴m≥2.命题得证．20．(本小题满分12分)设集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}．(1)当a＝1时，求A∩B，A∪B；(2)记C＝A∪B，若集合C的子集有8个，求实数a的取值集合．解：(1)由集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}．∴当a＝1时，A＝{1，3}，B＝{1，4}，∴A∩B＝{1}，A∪B＝{1，3，4}．(2)∵C＝A∪B，集合C的子集有8个，∴集合C中有3个元素，而1，3，4∈C，故实数a的取值集合为{1，3，4}．21．(本小题满分12分)设全集为R，A＝{x|x<9}，B＝{x|x>3}．(1)求A∩(∁RB)和(∁RA)∩B；(2)若集合M＝{x|m<x<1＋2m}，且M⊆(A∩B)，求实数m的取值范围．解：(1)由题知，∁RB＝{x|x≤3}，∁RA＝{x|x≥9}，∴A∩(∁RB)＝{x|x≤3}，(∁RA)∩B＝{x|x≥9}．(2)A∩B＝{x|3<x<9}，若M＝∅，则m≥1＋2m，解得：m≤－1，符合M⊆(A∩B)；若M≠∅，又M⊆(A∩B)，则有解得：3≤m≤4，综上：实数m的取值范围为m≤－1或3≤m≤4.22．(本小题满分12分)给出如下三个条件：①充分不必要；②必要不充分；③充要．请从中选择一个条件补充到下面的横线上．已知集合P＝{x|1≤x≤4}，S＝{x|1－m≤x<1＋m}，则x∈P是x∈S的______条件．若存在实数m，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：若选择①，即x∈P是x∈S的充分不必要条件，则PS且S≠∅，∴解得m>3，即实数m的取值范围为(3，＋∞)．若选择②，即x∈P是x∈S的必要不充分条件，则SP.当S＝∅时，1－m≥1＋m，解得：m≤0；当S≠∅时，1－m<1＋m，解得：m>0，则解得：m≤0，此时解集为∅；故实数m的取值范围是(－∞，0]．若选择③，即x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，12
则无解，则不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．12
