向量数乘运算及其几何意义 (20分钟 35分)1.(2020·梅州高一检测)已知m,n是实数,a,b是向量,则下列结论中正确的为( )①m(a-b)=ma-mb;②(m-n)a=ma-na;③若ma=mb,则a=b;④若ma=na,则m=n.A.①④B.①②C.①③D.③④【解析】选B.由向量数乘的运算律可知①②正确;③中,若m=0,则不能推出a=b,错误;④中,若a=0,则m,n不一定相等,错误.2.已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A,C),则=( )A.λ(+),λ∈(0,1)B.λ(+),λ∈C.λ(-),λ∈(0,1)D.λ(-),λ∈【解析】选A.设P是对角线AC上的一点(不含A,C),设=λ,则λ∈(0,1),于是=λ(+),λ∈(0,1).3.已知向量a,b,若=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( )A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D【解析】选A.因为+=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2(a+2b)=2,即=2,所以∥.又因为,有公共点B,所以A,B,D三点共线.4.在△ABC中,点D在CB的延长线上,且=4=r-s,则s+r=( )A.0B.C.D.37
【解析】选C.由题意得,=4,所以=,因为=-,所以=(-)=-,所以r=s=,所以s+r=. 【补偿练习】 如图所示,向量,,的终点A,B,C在一条直线上,且=-3.设=p,=q,=r,则以下等式中成立的是( )A.r=-p+qB.r=-p+2qC.r=p-qD.r=-q+2p【解析】选A.因为=+,=-=3,所以=,所以=+=+(-).所以r=q+(r-p),所以r=-p+q.5.(2020·保定高一检测)已知e1,e2是两个不共线的向量,而a=k2e1+e2与b=2e1+3e2是两个共线向量,则实数k= . 【解析】由题设知=,所以3k2+5k-2=0,解得k=-2或.答案:-2或6.设两个不共线的向量e1、e2,若向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ,μ,使向量d=λa+μb与向量c共线?【解析】因为d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2,要使d与c共线,则存在实数k使d=k·c,即:(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2.7
由得λ=-2μ,故存在这样的实数λ和μ,只要λ=-2μ,就能使d与c共线. (30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,其中a,b不共线,则四边形ABCD为( )A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形【解析】选A.=a+2b,=-5a-3b,因为a与b不共线,所以与不共线.所以AB与CD不平行.又=++=-8a-2b,显然=2.所以AD∥BC.所以四边形ABCD为梯形.2.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,满足++=,则点P与△ABC的关系为( )A.P在△ABC内部B.P在△ABC外部C.P在AB边所在直线上D.P是AC边的三等分点【解析】选D.因为=-,所以++=-,即2+=0,即=2,故=,所以P是AC边的一个三等分点.3.已知a,b是不共线的向量,=λa+μb,=2a-b,=a-2b,若A,B,C三点共线,则λ,μ满足( )A.λ=μ-3B.λ=μ+3C.λ=μ+2D.λ=μ-2【解析】选B.由A,B,C三点共线,得=t+(1-t)=(1+t)a+(t-2)b,因为a,b是不共线的向量,所以λ=t+1,μ=t-2,所以λ=μ+3.7
4.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则P点的轨迹所在直线一定通过△ABC的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】选C.设BC中点为M,则=,则有=+λ,即=λ,即点A,P,M共线,所以P点的轨迹所在直线一定通过△ABC的重心.5.已知△ABC和点M,且有++=0.若存在实数m使得+=m成立,则m=( )A.2B.3C.4D.5【解析】选B.如图,在△ABC中,以BM,CM为邻边作平行四边形MBDC,依据平行四边形法则可得+=,又++=0,则=,两向量有公共点M,则A,M,D三点共线,设BC∩MD=E,结合MD是平行四边形MBDC的对角线可知,AE是△ABC的中线,同理可证BM,CM也是△ABC的中线,即M是△ABC的重心.以AB,AC为邻边作平行四边形ABFC,依据向量加法的平行四边形法则可得+==2=2×=3,则+=3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若5+3=0,且||=||,则四边形ABCD的形状为 . 【解析】由于5+3=0知,∥且||≠||,所以此四边形为梯形.又||=||,所以梯形ABCD为等腰梯形.答案:等腰梯形7.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若-3+2=0,则= . 【解析】因为-3+2=0,7
所以-=2(-),所以=2,所以=2.答案:28.如图,在△ABC中,延长CB到D,使BD=BC,当点E在线段AD上移动时,若=λ+μ,则t=λ-μ的最大值是 . 【解析】设=k,0≤k≤1,则=k(+2)=k[+2(-)]=2k-k,因为=λ+μ,所以所以t=λ-μ=3k.又0≤k≤1,所以当k=1时,t取最大值3.故t=λ-μ的最大值为3.答案:3三、解答题(每小题10分,共20分)9.过△ABC的重心G任作一条直线分别交AB,AC于点D,E,若=x,=y且xy≠0,试求+的值.【解析】如图,设=a,=b,则===(a+b).所以=-=a-b.=-=xa-yb.因为与共线,所以=λ,即a-b=λxa-λyb,所以7
消去λ得=,即+=3.10.已知O,A,M,B为平面上四点,且=λ+(1-λ)(λ∈R,λ≠0且λ≠1).(1)求证:A,B,M三点共线.(2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围.【解析】(1)因为=λ+(1-λ),所以=λ+-λ,-=λ-λ,所以=λ(λ∈R,λ≠0且λ≠1).又与有公共点A,所以A,B,M三点共线.(2)由(1)知=λ,若点B在线段AM上,则与同向且||>||(如图所示).所以λ>1.1.如图所示,两射线OA与OB交于O,则下列选项中哪些向量的终点落在阴影区域内(不含边界)( )①+2;②+;③+;④+.A.①②B.①②④C.①②③D.③④【解析】选A.依题意,在题图中的阴影区域内任取点E,连接OE交AB于点F,则有=λ=λ[x+(1-x)]=λx+(1-x)λ,其中0<x<1,λ>1,注意到λx+(1-x)λ=λ>1;注意到1+2=3>1,+>+=1,+=<1,+=<1.2.如图所示,点O是梯形ABCD对角线的交点,||=4,||=6,||=2.设与同向的单位向量为a0,与同向的单位向量为b0.7
(1)用a0和b0表示,和.(2)若点P在梯形ABCD所在的平面上运动,且||=2,求||的最大值和最小值.【解析】(1)由题意知=6a0,=2b0,所以=-=6a0-2b0;因为∥,所以=4a0,则=+=2b0-6a0+4a0=2b0-2a0;因为AD∥BC,所以|OA|∶|OC|=|AD|∶|BC|=2∶3,则=-=-(6a0-2b0)=-a0+b0.(2)知点P是在以点C为圆心,2为半径的圆周上运动,所以由几何意义即得||的最大值和最小值分别为8和4.7
