三角函数(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在0到2π范围内，与角－终边相同的角是( )A. B.C.D.解析：选C 与角－终边相同的角是2kπ＋，k∈Z，令k＝1，可得与角－终边相同的角是，故选C.2．sin600°＋tan240°的值等于( )A．－B.C．－＋D.＋解析：选B sin600°＝sin(360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－，tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°＝，因此sin600°＋tan240°＝.3．设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是( )A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数解析：选B f(x)的最小正周期为T＝＝π.∵sin＝－sin＝－cos2x，11
∴f(x)＝－cos2x.又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos2x＝f(x)，∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．4．与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是( )A．x＝B．y＝C．x＝D．y＝解析：选C 令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．令k＝0，得x＝.5．若α∈，且sinα＝，则sin－cos(π－α)的值为( )A.B．－C.D．－解析：选B ∵sinα＝，α∈∴cosα＝－，∴sin－cos(π－α)＝sinα＋cosα＋cosα＝sinα＋cosα＝×－×＝－.6．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.B.C．0D．－解析：选B 将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到函数11
y＝sin的图象，因为该函数是偶函数，所以φ＋＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝.7．设偶函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0≤φ<π)的部分图象如图所示，△KMN为等腰直角三角形，∠KMN＝90°，则f的值为( )A.B.C．－D.解析：选B 由题图可知|KN|＝1，所以T＝2，A＝，因此ω＝＝π，所以f(x)＝cos(πx＋φ)．又因为f(x)为偶函数，所以φ＝kπ，k∈Z.因为0≤φ<π，所以φ＝0，所以f(x)＝cosπx，因此f＝，故选B.8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象在y轴右侧的第一个最高点为P，在原点右侧与x轴的第一个交点为Q，则f的值为( )A．1 B. C. D.解析：选C 由题意，得＝－，所以T＝π，所以ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋φ)，将点P的坐标代入f(x)＝sin(2x＋φ)，得sin＝1，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)．又|φ|<，所以φ＝，即f(x)＝sin(x∈R)，所以f＝sin＝sin＝，选C.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)11
9．下列结论正确的是( )A．－是第三象限角B．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为C．若角α的终边上有一点P(－3，4)，则cosα＝－D．若角α为锐角，则角2α为钝角解析：选BC 选项A中，－＝－2π＋是第二象限角，A错误；选项B中，设半径为r，则·r＝π⇒r＝3⇒S＝××32＝，B正确；选项C中，＝5，∴cosα＝－，C正确；选项D中，α＝30°是锐角，但2α＝60°不是钝角，D错误．故选B、C.10．已知函数f(x)＝|Acos(x＋φ)＋1|的部分图象如图所示，则( )A．φ＝B．φ＝C．A＝2D．A＝3解析：选BC 由题图知：A＝＝2.又f(0)＝|2cosφ＋1|＝2，所以cosφ＝或cosφ＝－(舍)，因为|φ|<，即－<φ<，由图象知φ>0，所以φ＝，故选B、C.11．已知函数f(x)＝，则有( )A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称B．函数f(x)的图象关于点对称11
C．函数f(x)是奇函数D．函数f(x)的最小正周期为π解析：选BCD 因为f(x)＝＝＝－tanx，所以函数f(x)是周期为π的奇函数，图象关于点对称，故选B、C、D.12．已知函数f(x)＝sinxcosx－cos2x，下列命题正确的是( )A．f(x)的最小正周期为2πB．f(x)在区间上为增函数C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴D．函数f(x)的图象可由函数f(x)＝sin2x的图象向右平移个单位长度得到解析：选BC f(x)＝sin2x－＝sin－，显然A错；x∈时，2x－∈，函数f(x)为增函数，故B正确；令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝π＋，k∈Z，显然x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，故C正确；f(x)＝·sin2x的图象向右平移个单位得到y＝·sin＝sin的图象，故D错．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知角α的终边过点P(5，a)，且tanα＝－，则sinα＋cosα＝________．解析：∵tanα＝＝－，∴a＝－12.∴r＝＝13.∴sinα＝－，cosα＝.∴sinα＋cosα＝－.答案：－11
14.工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式．高一某班学生想用布料制作一面如图所示的扇面参加元旦晚会．已知此扇面的圆心角为60°，外圆半径为60cm，内圆半径为30cm，则制作这样一面扇面需要的布料面积为________cm2.解析：由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料为××60×60－××30×30＝450πcm2.答案：450π15．设函数f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a(a为实数)在区间上的最小值为－4，那么a的值等于________．解析：f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a＝1＋cos2x＋sin2x＋a＝2sin＋a＋1.当x∈时，2x＋∈，∴f(x)min＝2×＋a＋1＝－4.∴a＝－4.答案：－416．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________，函数f(x)的单调递增区间为________．解析：由题中图象知＝－＝，则T＝π，即＝π，即ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，由五点法得2×＋φ＝0，即φ＝，则f(x)＝2sin，令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得－＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，11
即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.答案：2 ，k∈Z四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知0<α<，sinα＝.(1)求tanα的值；(2)求的值．解：(1)因为0<α<，sinα＝，所以cosα＝，故tanα＝.(2)＝＝＝＝4.18．(本小题满分12分)已知sinα＝，且α为第二象限角．(1)求sin2α的值；(2)求tan的值．解：(1)因为sinα＝，且α为第二象限角，所以cosα＝－＝－，故sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－.(2)由(1)知tanα＝＝－，故tan＝＝＝.11
19．(本小题满分12分)将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示的坐标系中，轮胎以角速度ωrad/s做圆周运动，P0是气针的初始位置，气针(看作一个点P)到原点O的距离为r.(1)求气针P的纵坐标y关于时间t的函数解析式，并求出P的运动周期；(2)当φ＝，r＝ω＝1时，作出其图象．解：(1)过P作x轴的垂线，设垂足为M，则MP就是正弦值．∴y＝rsin(ωt＋φ)，因此T＝.(2)当φ＝，r＝ω＝1时，y＝sin，其图象可由y＝sint的图象向左平移个单位长度得到，如图所示．20．(本小题满分12分)某同学学习习惯不好，把老师写的表达式忘了，只记得A>0，ω>0，0<φ<.记不清楚是f(x)＝Asin(ωx＋φ)还是f(x)＝Acos(ωx＋φ)．翻出草稿本发现在用五点作图法列表作图时曾算出过一些数据(如下表)ωx＋φ0π2πx－f(x)300(1)请你帮助该同学补充表格中的数据，写出该函数的解析式，并求出该函数的单调递增区间；(2)设f(α)＝，其中<α<，求f.11
解：(1)填表：第一列：0；第三列：π，π，－3，由表可知：A＝3，T＝π⇒ω＝2，2×＋φ＝0⇒φ＝，∴f(x)＝3sin.∵－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)∴单调递增区间为(k∈Z)．(2)∵<α<，∴<2α＋<，又∵sin＝，∴cos＝－，则f＝3sin(2α＋π)＝－3sin2α＝－3sin＝－3＝－.21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝2sin＋m的图象关于直线x＝π对称，其中0<ω<.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若函数y＝f(x)的图象过点(π，0)，求f(x)在上的值域．解：(1)函数f(x)＝2sin＋m的图象关于直线x＝π对称，则2ω×π－＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝＋，k∈Z，又0<ω<，则当k＝0时，ω＝，即f(x)＝2sin＋m，f(x)的最小正周期为T＝＝3π；11
(2)函数y＝f(x)的图象过点(π，0)，则f(π)＝2sin＋m＝0，解得m＝－2，故f(x)＝2sin－2，∵0≤x≤，∴0≤x≤π，－≤x－≤，则－≤sin≤1，－3≤2sin－2≤0，∴f(x)在上的值域为[－3，0]．22．(本小题满分12分)设f(x)＝sin(ωx＋φ)，给出以下四个论断：①它的图象关于直线x＝对称；②它的图象关于点对称；③它的周期是π；④它在区间上是增函数．以其中的两个论断作为条件，余下的两个论断作为结论，写出你认为正确的两个命题，并对其中一个命题加以证明．解：两个正确的命题如下：(1)①③⇒②④；(2)②③⇒①④.对(1)证明如下：由③，得ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)．由①，得2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ＋(k∈Z)．又∵－<φ<，∴取k＝0，得φ＝，∴f(x)＝sin.11
当x＝时，f＝sin＝sinπ＝0.∴f(x)的图象关于点对称，②成立．由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．即f(x)的增区间为(k∈Z)．取k＝0，得f(x)的一个单调增区间为.又∵，∴f(x)在上是增函数．∴④成立．∴①③⇒②④.11
