2020-2021学年北京市某校高三（上）8月练习数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.)1.已知集合߀ɹٟ灰，߀灰，则䁧A.߀B.߀灰C.߀灰D.߀灰2.若复数＝ٟ灰㈹，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，其体积为（）A.灰B.C.D.4.䁧ٟ）展开式中项的系数为（）A.ٟ.B灰ٟC.D.灰5.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始，则下列说法不正确的是（）注：“相差”是指差的绝对值A.立春和立冬的晷长相同B.立夏和立秋的晷长相同C.与夏至的晷长相差最大的是冬至的晷长试卷第1页，总11页
D.与春分的晷长相差最大的是秋分的晷长6.点在曲线＝上，过分别作直线＝ٟ灰及＝㈹㤷的垂线，垂足分别为，，则ɹɹ㈹ɹɹ的最小值为（）A.B.C.㈹灰D.㈹7.“㈹sini”是“ٟsini”的（）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件8.以为始边作钝角，角的终边与单位圆交于点䁧灰灰，将角的终边顺时针旋转得到角．角的终边与单位圆相交于点䁧，则ٟ灰的取值范围为（）A.（-，）B.（，）C.（，灰D.（，灰9.若圆的半径为灰，且经过坐标原点，过圆心作圆䁧ٟ䁧㈹ٟ㤷＝的切线，切点为，则ɹɹ的最小值为（）A.B.C.D.10.气象意义上从春季进入夏季的标志为连续天的日平均温度均不低于．现有甲、乙、丙三地连续天的日平均温度（都是正整数，单位：）的记录数据如下：①甲地个数据的中位数为，众数为；②乙地个数据的平均数为，方差为方；③丙地个数据的中位数为，平均数为方，极差为．则从气象意义上肯定进入夏季的地区是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题共5小题，每小题5分，共25分)11.双曲线：-＝灰的焦距是________．12.已知߀是等差数列，߀㈹是公比为的等比数列，灰＝灰，灰＝，㤷＝，则数列߀的前灰项和为________，数列߀的前灰项和为________．（用表示）13.已知为等腰直角三角形，＝灰，为斜边的高．䁧Ⅰ若为线段的中点，则•＝________．试卷第2页，总11页
䁧Ⅱ若为线段上的动点，则•的取值范围为________．14.不等式ٟ的有所对ٟ灰灰都成立，则的取值范围是________．15.在实数集中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：（1）对任意，‴＝（2）对任意，，‴＝‴（3）对任意，，，䁧‴‴＝‴䁧㈹䁧‴㈹䁧‴ٟ．给出下列四个结论：①‴䁧‴＝；②䁧‴‴䁧‴＝；③对任意，，，‴䁧‴＝‴䁧‴；④存在，，，䁧㈹‴䁧‴㈹䁧‴．其中，所有正确结论的序号是________．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.)16.如图，三棱柱ٟ灰灰灰中，平面灰灰，点是棱灰的中点，已知灰灰＝灰灰＝灰＝，灰＝．䁧Ⅰ求证：灰平面；䁧Ⅱ求二面角ٟ灰ٟ灰的余弦值．17.在中，sin＝sin，＝，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的值及的面积．条件①：＝；条件②：＝；条件③：sin＝㤷．18.工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人执行任务，且每个人只派一次，每人工作时间均不超过灰分钟，如果灰分钟内不能完成任试卷第3页，总11页
务则撤出，再派下一个人；如果灰分钟内已完成任务则不再派人．现在一共只有甲乙丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为灰＝，＝，㤷＝．假定各人能否完成任务相互独立．䁧Ⅰ计划依次派甲乙丙执行任务，①求能完成任务的概率；②求派出人员数的分布列和数学期望䁧．䁧Ⅱ欲使完成任务的概率尽可能大，且所取需派出人员数的数学期望尽可能小，你认为应该按什么次序派出甲乙丙？（直接写出答案即可）19.已知函数䁧＝㤷ٟ㤷㈹．䁧Ⅰ若＝，求过曲线＝䁧上一点䁧ٟ灰的切线方程；䁧Ⅱ若൏൏㤷，䁧在区间灰的最大值为，最小值为，求ٟ的最小值．20.已知椭圆：+＝灰䁧ii的左、右顶点分别为，，上顶点为，离心率为，•＝．点，为椭圆上异于，的两点，直线，相交于点．䁧Ⅰ求椭圆的方程；䁧Ⅱ若点在直线＝上，求证：直线过定点．21.已知，，为正整数，，㤷，是由个不超过的正整数组成的行列的数表，其第行第列为，灰，灰，满足：①对任意灰，ٟ灰，均有ٟ灰，，㈹灰互不相等；②对任意灰，不存在灰൏൏൏，使得＝且＝；③当时，对任意灰൏，存在灰，使得记䁧为所有这样的数表构成的集合．䁧Ⅰ写出㤷䁧中的一个元素；䁧Ⅱ若䁧，则当最大时，求的最大值；䁧Ⅲ从问题（一）问题（二）中选择一个作答．问题（一）：求集合߀䁧ɹ‴‴的元素个数．问题（二）：求集合灰灰䁧㤷灰的元素个数．注：如果选择问题（一）和问题（二）分别解答，按第一个解答计分．试卷第4页，总11页
参考答案与试题解析2020-2021学年北京市某校高三（上）8月练习数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.C2.A3.C4.A5.D6.B7.A8.D9.B10.D二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11.灰12.灰,13.,14.䁧ٟٟ灰߀灰㈹15.‴䁧‴＝‴＝，故选项②正确；对于任意，，，而‴䁧‴＝‴䁧㈹㈹＝䁧㈹㈹㈹㈹㈹㈹＝㈹㈹㈹㈹㈹㈹，故‴䁧‴＝‴䁧‴，故选项③正确；取＝＝，＝灰，则䁧灰㈹‴灰＝㈹㈹灰＝，而䁧灰‴②③④试卷第5页，总11页
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.证明：䁧Ⅰ在灰灰中，灰＝，，灰＝灰＝，∴，则灰＝，又∵三棱柱ٟ灰灰中，四边形灰灰为平行四边形，∴四边形灰为矩形，则灰．∵平面灰，灰平面灰，∴灰，又＝，∴平面；（2）∵平面灰灰，平面灰，∴，以为坐标原点，则䁧㤷，灰，㤷，灰䁧，灰䁧，，，，设平面灰的一个法向量为，由，取＝，得；设平面灰灰的一个法向量为，由，取灰＝灰，得，∴cos൏i＝．由题可知二面角ٟ灰ٟ为锐角，∴二面角ٟ灰ٟ灰的余弦值为．17.选择条件①，∵sin＝sin，试卷第6页，总11页
∴由正弦定理可得：＝，又∵＝，＝，∴由余弦定理＝㈹ٟcos，可得：＝㤷㈹ٟ＝㤷，可得＝，∴若选择条件①，这样的不存在．选择条件②，∵在中，sin＝，，∴＝，又∵＝，∴由余弦定理可得＝＝＝i，又∵＝，∴＝，解得＝灰，∴＝，＝灰，∴＝sin＝＝．选择条件③，∵在中，sin＝㤷，，∴＝＝＝，∵在中，sin＝，，∴＝＝，试卷第7页，总11页
∴由余弦定理可得＝＝＝，∴＝sin＝．18.（1）①设“计划依次派出甲乙丙，能完成任务”为事件，∵甲乙丙各自能完成任务的概率分别为，，㤷＝，各人能否完成任务相互独立，∴䁧＝灰ٟ灰＝㤷ٟ䁧ٟ灰䁧ٟ灰䁧ٟ＝．②依题意的所有可能取值为，，㤷，䁧＝＝灰＝，䁧＝＝䁧灰ٟ＝，䁧＝㤷＝䁧灰ٟ䁧灰ٟ＝，∴的分布列为：灰㤷䁧＝＝．（2）依次派出丙甲乙．19.（1）当＝时，䁧＝㈹，所以̵䁧＝，设切点为䁧㤷㈹，所以切线的斜率为，所以切线的方程为ٟ䁧＝ٟ㤷ٟ，当切线过䁧ٟ灰时䁧ٟ灰ٟ㈹㤷㈹＝，所以㤷䁧ٟ䁧灰㈹䁧ٟ＝灰ٟ㈹䁧灰㈹䁧ٟ＝㈹ٟ䁧灰㈹䁧㈹ٟ㤷ٟ灰＝，所以＝ٟ灰或，所求切线的方程为＝㈹或＝㈹；试卷第8页，总11页
（2）因为䁧＝㤷ٟ㈹，൏൏㤷，所以̵䁧＝ٟ䁧＝ٟ，可令̵䁧＝，当൏，或i时，䁧递增，̵䁧൏，①当㤷൏㤷时，䁧在；所以由题意，＝䁧＝，所以ٟ㤷＝ٟ㤷；②当൏൏时，䁧在，在，又因为䁧＝，䁧灰＝㤷ٟ㤷，（1）当൏灰时，所以＝䁧，ٟ＝㤷，灰；（2）当൏൏时，ٟ㤷䁧＝，iٟ㈹．设䁧＝㤷ٟ时൏൏当，㈹ٟ൏，所以䁧在䁧，）递减，（，所以ٟ＝䁧（，；所以，当且仅当＝时．20.（1）依题意，䁧ٟ，䁧，䁧，，，∴ٟ＝，由题意可知，解得，所以椭圆的方程为；（2）设䁧灰灰，䁧，则，，䁧＝灰，①当直线垂直于轴时，由对称性，直线，不合题意；②当直线不垂直于轴时，设其方程为＝㈹，联立方程，消去得：䁧㈹㈹㈹ٟ㤷＝，试卷第9页，总11页
依题意，设（，因为为直线，所以，所以，所以㈹灰㈹㤷䁧灰㈹㈹＝，所以㤷㈹䁧灰㈹䁧㈹㈹㤷䁧灰㈹㈹㈹㈹＝，所以，所以，因为，所以䁧㈹䁧ٟ㤷ٟ㈹䁧㈹㤷䁧㈹＝，所以ٟ灰＝，即＝，所以直线的方程为＝㈹，所以直线过定点䁧．21.（1）中䁧，例如；（2）依题意，设䁧，设䁧为䁧灰，设某行为＝䁧灰，߀㤷䁧＝灰，，…，一、当＝䁧䁧灰；二、当时，＝或，．当＝䁧时，由①，，故由②＝＝，与①矛盾．．当＝䁧方方方时，由①＝或，（1）当＝䁧方方方时，由②＝，与①矛盾．（2）当＝䁧方方方时，由①，故由②＝，假若＝，与①矛盾．综上，的最大值为，＝䁧，这样的共有个，由③可得，的最大值为．䁧Ⅲ选择问题（一）．若㤷䁧，一．当＝时，这样的共有个，所以＝，，…，时，䁧；当i时，䁧＝．试卷第10页，总11页
二．当＝时或＝䁧，这样的共有个，所以＝灰，，…，时，䁧；当i时，䁧㤷＝．三．当＝时，这样的共有个，所以＝灰，，…，时，㤷䁧；当i时，䁧＝．四．当时䁧；综上，集合߀䁧ɹ‴的元素个数为㈹㈹㈹＝灰个．选择问题（二）．若＝䁧灰方方方满足②，则将删除若干项仍满足②，若＝䁧方方方䁧灰，߀方方方䁧＝灰，，…，一．当＝㤷时，设䁧，设䁧方方方，则由①＝，由①②，无解，矛盾，所以＝ٟ．二．假设存心，设满足此条件的最小的为，所以＝䁧方方方䁧灰，由一．ٟ灰䁧灰，不妨设䁧＝,…,中，灰．当＝时灰方方方ٟ䁧灰，．当＝时＝，（1）当＝灰或时，将去掉这一项得，则ٟ灰䁧ٟ灰矛盾，（2）当＝时，将去掉前两项得ٟ灰䁧ٟ，当＝ٟ灰䁧灰ٟ得项两后掉去将理同，时ٟ，（3）当灰，，ٟ㤷，记＝䁧……，若且，将去掉这一项得ٟ灰䁧灰ٟ，若＝且，将去掉，则ٟ灰䁧灰ٟ㤷，若且＝，将去掉，则ٟ灰䁧灰ٟ㤷，若＝且＝，由②；㤷．当时，䁧＝,…,中，灰，，…，因为＝䁧灰方方方䁧㤷，由①，前两个灰之间必有其它数，由②，所有的均在这两个之间，同理，不妨设所有的㤷全在前两个之间，…这与䁧＝,…,矛盾，．综上，必有ٟ．三．从灰灰䁧㤷灰中任取一行灰灰䁧灰，因为灰灰ٟ＝൏灰，所以不存在，灰灰䁧灰＝，所以灰灰䁧㤷灰的元素个数为．试卷第11页，总11页
