2020-2021学年北京市某校高三（上）开学数学试卷一、单选题（共10题，每题4分，共40分）)1.设为虚数单位，则复数ሺ͵()A.͵B.͵C.D.2.函数ሺ䁪＝tanሺ䁪͵的最小正周期为（）A.B.C.D.3.已知向量ሺ，ሺ，若与共线，则＝（）A.B.C.D.4.在二项式ሺ䁪的展开式中，䁪的系数为（）A.B.C.D.5.下列函数中，既是偶函数又在ሺ͵上单调递减的是（）A.＝䁪B.＝ln䁪C.＝䁪D.＝䁪sin䁪6.将函数ሺ䁪＝cos䁪图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数ሺ䁪的图象，如果ሺ䁪在区间上单调递减，那么实数的最大值为（）A.B.C.D.7.设点，，不共线，则“ሺ͵”是“”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件8.有一改形塔几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为，如果改形塔的最上层正方体的边长小于，那么该塔形中正方体的个数至少是（）A.B.C.D.试卷第1页，总9页
9.某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（）A.B.C.D.10.在声学中，声强级（单位：）由公式ሺ给出，其中为声强（单位：）．＝，＝，那么ሺA.B.C.D.二、填空题（共5题，每题5分，共25分）)䁪11.已知抛物线＝㤵䁪的焦点与双曲线＝的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为________；准线方程为________．12.ሺ䁪͵的展开式中䁪的系数是________．13.在中，＝，＝＝，为的中点，则________．14.已知两点ሺ，ሺ，若直线䁪͵＝上存在点ሺ䁪满足，则实数满足的取值范围是________．15.集合䁡ሺ䁪䁪͵㌳，䁡ሺ䁪䁪͵䁪͵，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________．①的值可以为；②的值可以为；③的值可以为͵；三、解答题（共6小题，共85分，每题必须写出详细的解答过程）)16.已知，满足，＝，______，判断的面积㌳是否成立？说明理由．试卷第2页，总9页
从①，②cos这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17.年月日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工人，中年员工人，青年员工人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：专项子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人员工人数老员工中年员工青年员工ሺⅠ在抽取的人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；ሺⅡ从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取人，记为选出的中年员工的人数，求的分布列和数学期望．18.如图，已知四边形为菱形，且＝，取中点为．现将四边形沿折起至至，使得＝．ሺⅠ求证：平面至；ሺⅡ求二面角至的余弦值；ሺⅢ若点满足，当平面至时，求的值．䁪19.已知椭圆͵ሺ㌳㌳的右焦点为ሺ，离心率为．直线过点且不平行于坐标轴，与有两交点，，线段的中点为．ሺⅠ求椭圆的方程；ሺⅡ证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；ሺⅢ延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率．20.已知函数，ሺ䁪＝䁪ሺ䁪㌳，ሺ䁪＝ln䁪ሺ㌳．ሺⅠ若ሺ䁪㌳ሺ䁪恒成立，求实数的取值范围；ሺⅡ当＝时，过ሺ䁪上一点ሺ作ሺ䁪的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．21.有限个元素组成的集合＝䁡，，记集合中的元素个数为ሺ，即ሺ＝．定义͵＝䁡䁪͵䁪，集合͵中的元素个ሺ͵数记为ሺ͵，当ሺ͵时，称集合具有性质．试卷第3页，总9页
ሺⅠ＝䁡，＝䁡，判断集合，是否具有性质，并说明理由；ሺⅡ设集合＝䁡．，且ሺ＝，若集合具有性质，求͵͵的最大值；ሺⅢ设集合＝䁡，其中数列䁡为等比数列，㌳ሺ＝,…,且公比为有理数，判断集合是否具有性质并说明理由．试卷第4页，总9页
参考答案与试题解析2020-2021学年北京市某校高三（上）开学数学试卷一、单选题（共10题，每题4分，共40分）1.B2.C3.B4.D5.A6.B7.C8.A9.C10.D二、填空题（共5题，每题5分，共25分）11.ሺ,䁪＝12.13.14.15.②③三、解答题（共6小题，共85分，每题必须写出详细的解答过程）16.选①，的面积㌳成立，理由如下：͵当时，cos，所以＝，所以＝，则的面积sinsin，因为㌳，所以㌳成立．选②，的面积㌳不成立，理由如下：͵当cos时，cos，͵即，整理得，͵，所以，因＝，͵＝͵＝，所以是为直角的三角形，所以的面积，所以不成立．试卷第5页，总9页
17.（1）该单位员工共͵͵＝人，抽取的老年员工人，中年员工人，青年员工人．（2）的可取值为，，，ሺ，ሺ，ሺ．所以的分布列为数学期望ሺ͵͵．18.（1）证明：在左图中，为等边三角形，为中点所以，所以．因为＝，所以．因为，，＝所以平面至．（2）设菱形的边长为，由ሺⅠ可知，，．所以以为原点，，，所在直线分别为䁪，，轴，建立如图空间坐标系可得ሺ，ሺ，ሺ，至ሺ．ሺ，至ሺ设平面至的法向量为ሺ䁪，䁪͵所以，即．䁪͵͵至令䁪＝，则ሺ．平面至的法向量为ሺ．设二面角至的大小为ሺcoscos㌳．ሺⅢ由，则ሺ，所以ሺ．因为平面至，则．试卷第6页，总9页
即＝（0）所以．19.（1）由题意可知，＝，，∵＝͵，∴，䁪∴椭圆的方程为͵．（2）设直线的方程为＝ሺ䁪ሺ，ሺ䁪，ሺ䁪，ሺ䁪联立，消去得，ሺ͵䁪䁪͵＝，䁪͵则䁪͵䁪，͵䁪͵䁪∵为线段的中点，∴䁪͵，ሺ䁪͵，∴，䁪∴为定值．ሺⅢ若四边形为平行四边形，则͵，∴䁪䁪͵䁪͵，͵ሺ䁪͵䁪͵，∵点在椭圆上，∴ሺ͵ሺ，解得，即，͵͵∴当四边形为平行四边形时，直线的斜率为．20.令ሺ䁪＝ሺ䁪ሺ䁪＝䁪ln䁪ሺ䁪㌳，䁪所以̵ሺ䁪＝䁪，䁪䁪䁪令̵ሺ䁪，䁪解得䁪，当䁪变化时，̵ሺ䁪，ሺ䁪的变化情况如下表：试卷第7页，总9页
䁪ሺሺ͵̵ሺ䁪-+，ሺ䁪减极增，小值所以在ሺ͵的最小值为ሺlnln，令ሺ㌳，解得，所以当时，ሺ䁪㌳恒成立，即ሺ䁪㌳ሺ䁪恒成立．（2）可作出条切线．理由如下：当＝时，ሺ䁪＝ln䁪，设过点ሺ的直线与ሺ䁪＝ln䁪相切于点ሺ䁪，̵ሺ䁪，即，整䁪䁪䁪理得䁪ln䁪䁪͵＝，令ሺ䁪＝䁪ln䁪䁪͵，则ሺ䁪在ሺ͵上的零点个数与切点的个数一一对应，̵ሺ䁪＝ln䁪，令̵ሺ䁪＝ln䁪＝解得䁪＝．当䁪变化时，̵ሺ䁪，ሺ䁪的变化情况如下表：䁪ሺሺ͵̵ሺ䁪-+ሺ䁪减极增小值所以ሺ䁪在ሺ上单调递减，在ሺ͵上单调递增，且ሺln͵͵㌳，ሺ＝ln͵＝͵，ሺ＝ln͵＝㌳，所以ሺ䁪在ሺ和ሺ上各有一个零点，即䁪ln䁪䁪͵＝有两个不同的解，所以过点ሺ可以作出条切线．21.（1）集合不具有性质，集合具有性质．ሺ͵事实上，∵＝䁡，∴͵＝䁡，ሺ͵＝，故不具有性质；ሺ͵∵＝䁡，∴͵＝䁡，ሺ͵＝，故具有性质．（2）若三个数，，成等差数列，则＝䁡不具有性质，理由是͵＝．∵，且ሺ＝，∴，要使͵͵取最大，则＝，，易知䁡不具有性质，试卷第8页，总9页
要使͵͵取最大，则＝，，要使͵͵取最大，检验可得＝；∴ሺ͵͵max＝；ሺⅢ集合具有性质．设等比数列的公比为，∴ሺ㌳且为有理数．假设当䁪时有͵＝͵成立，则有䁪＝͵ሺ䁪∵为有理数，设（，且与互质），因此有ሺ䁪ሺ͵ሺ，即䁪＝䁪͵䁪䁪．上式左边是的倍数，右边是的倍数，而与互质，显然͵䁪＝͵不成立．ሺ͵∴ሺ͵͵，故集合具有性质．试卷第9页，总9页
