【高考领航】2022高考数学总复习7-6空间直角坐标系练习苏教版【A级】 基础训练1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置在( )A．y轴上 B．xOy平面上C．xOz平面上D．yOz平面上解析：由点的坐标的特征可得该点在xOz平面上．答案：C2．若ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为( )A.B．(2,3,1)C．(－3,1,5)D．(5,13，－3)解析：设对角线AC，BD交于点O.∵A(4,1,3)，C(3,7，－5)，∴O.又B(2，－5,1)，∴D(5,13，－3)．答案：D3．已知点A(1，a，－5)、B(2a，－7，－2)(a∈R)，则|AB|的最小值是( )A．3B．3C．2D．2解析：|AB|＝＝≥3.∴当a＝－1时，|AB|取最小值3.答案：B4．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点为A(3，－1,2)，其中心为M(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．解析：∵A(3，－1,2)，中心M(0,1,2)，∴C1(－3,3,2)．∴|AC1|＝2，∴棱长a＝＝.答案：5．点A(10,4，－2)关于点M(0,3，－5)对称的点的坐标是________．解析：设所求点为P(x，y，z)，则M是AP的中点．4\n即即∴P(－10,2，－8)．答案：(－10,2，－8)6．在z轴上与点A(－4,1,7)和点B(3,5，－2)等距离的点C的坐标为________．解析：设点C的坐标为(0,0，z)，由条件得|AC|＝|BC|，即＝，解得z＝.答案：7．设正四棱锥S－P1P2P3P4的所有棱长均为a，建立适当的坐标系，求点S、P1、P2、P3和P4的空间坐标．解：以正四棱锥S－P1P2P3P4的高为z轴，以平行于底面相邻两边的直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系如图所示，其中原点O为底面正方形的中心，P1P2⊥Oy轴，P1P4⊥Ox轴，SO在Oz轴上，∵d(P1，P2)＝a，而P1、P2、P3、P4均在xOy平面上．∴P1，P2.P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称．∴P3，P4.又∵|OP1|＝a.∴在Rt△SOP1中，|SO|＝＝a.∴S.【B级】 能力提升1．在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面xOy的垂线PQ，则Q的坐标为( )4\nA．(0，，0)B．(0，，)C．(1,0，)D．(1，，0)解析：由于点Q在xOy内，故其竖坐标为0，又PQ⊥xOy平面，故点Q的横坐标、纵坐标分别与点P相同，从而点Q的坐标为(1，，0)．答案：D2．以棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA1B1B的对角线交点的坐标为( )A.B.C.D.解析：由题知所求点即为AB1的中点，由于A(0,0,0)，B1(1,0,1)，所以AB1的中点坐标为.答案：B3．到点A(－1，－1，－1)，B(1,1,1)的距离相等的点C(x，y，z)的坐标满足( )A．x＋y＋z＝－1B．x＋y＋z＝1C．x＋y＋z＝4D．x＋y＋z＝0解析：到点A(－1，－1，－1)，B(1,1,1)的距离相等的点C应满足||2＝||2，即(x＋1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2，化简得x＋y＋z＝0.答案：D4．已知三角形的三个顶点A(2，－1,4)，B(3,2，－6)，C(5,0,2)，则过A点的中线长为________．解析：由题意知BC的中点为D(4,1，－2)，故|AD|＝＝2.答案：25．给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为，则该点的坐标为________．解析：设点P的坐标是(x,0,0)，由题意得，|P0P|＝，即＝，∴(x－4)2＝25，解得x＝9或x＝－1.∴点P坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．答案：(9,0,0)或(－1,0,0)4\n6．对于任意实数x，y，z则＋的最小值为________．解析：设P(x，y，z)，M(－1,2,1)，则＋，M(－1,2,1)，则＋＝|PO|＋|PM|，由于x，y，z是任意实数，即点P是空间任意一点，所以|PO|＋|PM|≥|OM|＝＝，即所求代数式的最小值为.答案：7．(创新题)在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)，试问：(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标．解：(1)假设在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|.因M在y轴上，可设M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|，可得＝，显然，此式对任意y∈R恒成立．这就是说y轴上所有点都满足关系|MA|＝|MB|.(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．由(1)可知，y轴上任一点都有|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．因为|MA|＝＝，|AB|＝＝，于是＝，解得y＝±.故y轴上存在点M使△MAB为等边三角形，M坐标为(0，，0)或(0，－，0)．4
