模块综合测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．某校教学大楼共有5层，每层均有2个楼梯，则由一楼至五楼的不同走法共有( )A．24种 B．52种C．10种D．7种答案 A解析 因为每层均有2个楼梯，所以每层有两种不同的走法，由分步计数原理可知：从一楼至五楼共有24种不同走法．2．从3名男生和3名女生中，选出3名分别担任语文、数学、英语的课代表，要求至少有1名女生，则选派方案共有( )A．19种B．54种C．114种D．120种答案 C解析 A－A＝120－6＝114.3．若(3－)n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为( )A．－540B．－162C．162D．5670答案 D解析 由题意，不妨令x＝1，则(3－1)n＝64，解得n＝8.展开式中第r＋1项为Tr＋1＝C·(3)8－r·(－)r＝(－1)r·C·38－r·x4－r，当r＝4时，T5＝(－1)4·C·34＝5670.4．已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的范围为( )A．[0，]B．[－，]C．[－3,3]D．[0,1]答案 B解析 不妨设x1，x2，x3发生的概率分别为a，a＋d，a＋2d，则a＋(a＋d)＋(a＋2d)＝1.可得a＋d＝，即d＝－a.9\n∵a∈[0,1]，∴－a∈[－，]．∴－≤d≤.①又∵∴∴d≥－.②由①②可得：－≤d≤.5．已知随机变量ξ的分布列为ξ＝－1,0,1，对应P＝，，，且设η＝2ξ＋1，则η的期望为( )A．－B.C.D．1答案 B解析 E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－，∴E(η)＝E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝－×2＋1＝.6．(2022·陕西)(x＋)5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于( )A．－1B.C．1D．2答案 D解析 展开式中第r＋1项为Tr＋1＝C·x5－r·()r＝ar·C·x5－2r，当5－2r＝3时，r＝1，所以x3的系数为aC＝10，解得a＝2.7．某校1000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如图所示，则成绩X位于区间(52,68]的人数大约是( )9\nA．997B．954C．682D．341答案 C解析 由题图知X～N(μ，σ2)，其中μ＝60，σ＝8，∴P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝P(52<X≤68)＝0.6826.∴人数为0.6826×1000≈682.8．某商场开展促销抽奖活动，摇奖摇出的一组中奖号码是8,2,5,3,7,1，参加抽奖的每位顾客从0,1,2，…，9这10个号码中任意抽出6个组成一组，如果顾客抽出6个号码中至少有5个与中奖号码相同(不计顺序)就可以得奖，那么得奖的概率为( )A.B.C.D.答案 D解析 设A表示“至少有5个与摇出的号码相同”，A1表示“恰有5个与摇出的号码相同”，A2表示“恰有6个与摇出的号码相同”，得A＝A1＋A2，且A1，A2互斥，P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.9．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)＝·e－(x∈R)，则下列命题中不正确的是( )A．该市这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同9\nC．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同D．该市这次考试的数学成绩标准差为10答案 C解析 由题意可得：μ＝80，σ＝10，因此数学平均值μ＝80，分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，且标准差为10.10．(2022·山东烟台一模、江西吉安质检)下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据：x3456y2.5t44.5根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，那么表中t的值为( )A．3B．3.15C．3.5D．4.5答案 A11．考查正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( )A.B.C.D.答案 D解析 如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C·C＝15×15＝225种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有AC∥DB，9\nAD∥CB，AE∥BF，AF∥BE，CE∥FD，CF∥ED共12对，所以所求概率为p＝＝，选D.12．考查黄烟经过培养液处理是否跟发生青花病有关系，调查了457株黄烟，得到下表中数据：培养液处理未处理合计青花病25210235无青花病80142222合计105352457根据表中数据K2＝( )A．40.682B．31.64C．45.331D．41.61答案 D解析 代入K2公式得：K2＝41.61.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．小明和小勇在五种课外读物中各自选购两种，则他们两人所选购的课外读物中至少有一种不相同的选法种数为________．答案 90解析 小明和小勇都有C种选购方法，根据乘法原理，选购方法总数是CC＝100种．选购的两本读物都相同的方法数是C＝10种．故所求的选法种数为100－10＝90.14．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．答案 0.4解析 由表格可知：x＋0.1＋0.3＋y＝1,7x＋8×0.1＋9×0.3＋10×y＝8.9，联合解得y＝0.4.15．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．答案 ①③9\n解析 ①因为各次射击是否击中目标相互之间没有影响，所以第3次击中目标的概率是0.9，正确；②恰好击中目标3次的概率应为C×0.93×0.1；③4次射击都未击中的概率为0.14；所以至少击中目标1次的概率为1－0.14.16．(2022·福安)某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25，0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值范围为________．答案 (24.94,25.06)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n(m，n∈N*)展开式中x的系数为19，求f(x)的展开式中x2的系数的最小值．解析 f(x)＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxm＋1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn，由题意知m＋n＝19，m，n∈N*，∴x2项的系数为C＋C＝＋＝(m－)2＋.∵m，n∈N*，∴根据二次函数的知识知，当m＝9或10时，上式有最小值，也就是当m＝9，n＝10或m＝10，n＝9时，x2项的系数取得最小值，最小值为81.18．(12分)五位师傅和五名徒弟站一排，(1)五名徒弟必须排在一起共有多少种排法？(2)五名徒弟不能相邻共有多少种排法？(3)师傅和徒弟相间共有多少种排法？解析 (1)先将五名徒弟看作一人与五位师傅排列有A种排法，五名徒弟再内部全排列有A种，据乘法原理共有AA＝86400种排法．(2)先将五位师傅全排列有A种排法，再将五名徒弟排在五位师傅产生的六个空位上有A种排法，据乘法原则，共计AA＝86400种排法．(3)先将五位师傅排列有A种排法，再将五名徒弟排在五位师傅产生的六个空位中前五位或后五位上有2A种排法，据乘法原理共有2AA＝28800种排法．19．(12分)某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A项技术指标达标的概率为，有且仅有一项技术指标达标的概率为.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．(1)求一个零件经过检测为合格品的概率；9\n(2)任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率；(3)任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求E(ξ)与D(ξ)．解析 (1)设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2.由题意得：解得P2＝.∴一个零件经过检测为合格品的概率P＝P1P2＝×＝.(2)任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为1－C()5－C()5＝.(3)依题意知ξ～B(4，)，E(ξ)＝4×＝2，D(ξ)＝4××＝1.20．(12分)某市去年高考考生成绩服从正态分布N(500,502)，现有25000名考生，试确定考生成绩在550～600分的人数．解析 ∵考生成绩X～N(500,502)，∴μ＝500，σ＝50.∴P＝(550<x≤600)＝[P(500－2×50<x≤500＋2×50)－P(500－50<x≤500＋50)]＝(0.9544－0.6826)＝0.1359.故考生成绩在550～600分的人数约为25000×0.1359＝3397人．21．(12分)某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070(1)求出散点图；(2)求回归直线方程；(3)试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？(参考数据：＝5，＝50，＝145，＝13500，iyi＝1380)解析 (1)根据表中所列数据可得散点图如下图：9\n(2)由题目所提供数据可得：＝5，＝50，＝145，＝13500，iyi＝1380.于是可得b＝＝＝6.5，a＝－b＝50－6.5×5＝17.5.因此，所求回归直线方程是＝6.5x＋17.5.(3)据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10百万元时．＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，即这种产品的销售收入大约为82.5百万元．22．(12分)在一次物理与化学两门功课的联考中，备有6道物理题，4道化学题，共10道题可供选择．要求学生从中任意选取5道作答，答对4道或5道即为良好成绩．设随机变量ξ为所选5道题中化学题的题数．(1)求ξ的分布列及数学期望与方差；(2)若学生甲随机选定了5道题，且答对任意一道题的概率均为0.6，求甲没有取得良好成绩的概率．(精确到小数点后两位)解析 (1)依题意，得ξ＝0,1,2,3,4，则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，9\nP(ξ＝4)＝＝.∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.∴D(ξ)＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＋(4－2)2×＝＋＋＋＝.(2)“甲没有取得良好成绩”的对立事件是“甲取得良好成绩”，即甲答对4道或5道．甲答对4道题的概率为P1＝C×0.64×(1－0.6)＝0.25920；甲答对5道题的概率为P2＝C×0.65×(1－0.6)0＝0.07776，故甲没有取得良好成绩的概率是P＝1－(P1＋P2)＝1－(0.25920＋0.07776)≈0.66.9
