2020-2021学年北京市某校高三（上）诊断性数学试卷（理科）（9月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1.已知全集＝‴㠱⸸⸸㠱⸸⸸⸸，集合＝쳌䁠쳌㠱⸸쳌，＝㠱⸸，则＝（）A.B.⸸C.‴㠱⸸⸸D.‴㠱⸸⸸⸸2.设＝（为虚数单位），则䁠䁠等于（）A.B.C.D.3.已知ᦙ䁪香⸸ᦙ，则ᦙ＝（）A.B.C.D.4.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，已知，，则“，”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知cos，则cos的值为（）A.B.C.-D.-6.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（）（单位：）A.B.C.D.㠱7.函数쳌＝쳌ᦙsin쳌的图象是（）试卷第1页，总13页
A.B.C.D.8.已知㠱，是单位向量，其夹角为，若䁠㠱ᦙ䁠＝⸸，则ᦙ的最大值为（）A.B.C.D.9.如图，已知䁨的顶点䁨平面，点，在平面的同一侧，且䁠䁨䁠ᦙ，䁠䁨䁠ᦙ．若䁨，䁨与平面所成的角分别为，，则䁨面积的取值范图是㠱________.10.已知点为双曲线䁨：＝㠱⸸㌳的右焦点，直线＝쳌，]与双曲线䁨交于，两点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是（）试卷第2页，总13页
A.[，]B.[]C.，]D.，]11.已知函数쳌＝，若有四个不同的实数쳌㠱，쳌，쳌，쳌满足方程쳌㠱＝쳌＝쳌＝쳌，且쳌㠱쳌쳌쳌，则以下结论不一定正确的是（）A.쳌㠱ᦙ쳌＝쳌ᦙ쳌B.쳌㠱쳌＝쳌쳌C.쳌㠱ᦙ香쳌ᦙ香＝쳌‴㠱쳌‴㠱D.쳌㠱ᦙ㠱쳌＝쳌ᦙ㠱쳌12.已知数列满足：＝，＝ln（ᦙ㠱‴，前项和为，㠱ᦙ㠱则下列选项错误的是（）（参考数据：lnǤ香，ln㠱Ǥ香香）A.‴㠱是单调递增数列，是单调递减数列B.ᦙᦙ㠱lnC.D.‴㠱二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。)13.如图所示的程序框图的输出值㠱⸸，则输入值쳌________．14.已知抛物线＝쳌的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，若，则点的坐标为________．15.小红同学去超市买糖果，现有四种不同口味的糖果可供选择（可以有糖果不被选择），单价均为一元一颗，小红只有元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有________种．16.已知쳌，，且满足쳌ᦙᦙ쳌ᦙ㠱＝，则쳌ᦙᦙ쳌ᦙ的最小值是________．试卷第3页，总13页
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。)17.在䁨中，，，䁨所对的边分别为，，，已知＝，䁨＝．（1）若䁨的面积为，求，的值；（2）若䁨是锐角三角形，求ᦙ的取值范围．18.已知四棱锥‴䁨耀中，底面䁨耀为矩形，平面耀平面䁨耀，＝耀＝耀＝，点，分别是耀，的中点．（1）求证：平面䁨；（2）若䁨与平面䁨耀所成角的余弦值等于，求的长．19.已知数列中，㠱＝，且＝㌳㠱且．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求满足‴ᦙ㌳的所有正整数的值．20.设椭圆䁨：＝㠱㌳㌳的离心率＝，且过点㠱，）．设，是椭圆䁨上的两个不同的动点，且直线，的倾斜角互补．（1）求证：直线的斜率为定值；（2）求的面积的最大值．21.已知函数쳌＝쳌ᦙ⸸，且쳌在点（㠱⸸㠱）处的切线方程为＝쳌．Ⅰ求쳌的解析式；Ⅱ证明：쳌ln쳌ᦙ㌳쳌㌳．试卷第4页，总13页
(二)选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号[选修4-4：极坐标与参数方程])22.在极坐标系中，极点为．曲线䁨＝㠱，过点⸸作两条互相垂直的直线与䁨分别交于点，和，．（1）当时，求直线的极坐标方程；（2）求的最大值和最小值．[选修4-5：不等式选讲])23.（1）已知，ᦙ，且ᦙ＝，则的最小值；23.（2）已知쳌，ᦙ，且，求的最小值．试卷第5页，总13页
参考答案与试题解析2020-2021学年北京市某校高三（上）诊断性数学试卷（理科）（9月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.C2.A3.B4.B5.B6.7.D8.C9.⸸10.B11.B12.C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.‴⸸‴㠱㠱⸸14.，）15.㠱16.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.由＝sin䁨＝，由余弦定理知，＝ᦙ‴cos䁨＝ᦙ‴＝，得ᦙ＝香②，联立①②，解得＝＝．试卷第6页，总13页
由正弦定理知，＝＝＝＝，∴＝sinsin，∴ᦙ＝sinᦙsin＝‴＝cosᦙ＝（sinᦙsinᦙ），∵䁨是锐角三角形，∴，解得（，），∴ᦙ（，））（，∴ᦙ，，故ᦙ的取值范围为，．18.证明：取䁨的中点，连接，，∵，分别为耀，䁨的中点，㠱∴耀䁨，ᦙ耀䁨，∵䁨耀为矩形，∴，＝，∴四边形是平行四边形，∴，平面䁨，又∵平面䁨，∴平面䁨．取耀的中点，∵＝耀＝耀＝，∴耀，ᦙ，∵平面耀平面䁨耀，平面耀平面䁨耀＝耀，∴平面䁨耀，以为原点，为쳌轴，在平面䁨耀中过作耀的垂线为轴，为轴，建立如图坐标系，设＝，则⸸⸸，耀‴㠱⸸⸸，䁨‴㠱⸸⸸，㠱⸸⸸，∴耀ᦙ‴㠱⸸⸸‴，耀䁨ᦙ⸸⸸，设平面䁨耀的法向量ᦙ쳌⸸⸸，试卷第7页，总13页
耀ᦙ‴쳌‴ᦙ则，取쳌ᦙ，得平面䁨耀的法向量ᦙ⸸⸸‴㠱，耀䁨ᦙ쳌ᦙ䁨ᦙ‴⸸⸸，设䁨与平面䁨耀所成角为，∵䁨与平面䁨耀所成角的余弦值等于，䁠䁨䁠∴sinᦙᦙᦙ㠱‴，ᦙ䁠䁨䁠䁠䁠解得ᦙ，（舍负）．故的长为．19.因为＝㌳㠱且,所以＝-•(-)‴,则＝+(--)+...+(-)＝-[(-)ᦙǤǤǤᦙ‴)‴＝-•＝㠱ᦙ‴),试卷第8页，总13页
上式对＝㠱也成立，故＝ᦙ‴)；‴ᦙ㌳等价为‴㌳,数列‴的前项和为,令＝‴ᦙ＝‴)‴ᦙ,其前项和为＝‴,则有㠱＝,＝,＝-,故䁨㌳⸸䁨㌳⸸䁨,当时，＝‴)‴ᦙ＝•[(-)‴㠱‴ᦙ,则有,综上可得,不等式成立的＝㠱或．20.证明：由于椭圆䁨的离心率，故，又＝ᦙ，所以＝所以椭圆䁨的方程为쳌ᦙ＝，又点在椭圆上＝，所以，椭圆方程为，设直线的斜率为，则直线的斜率为‴，则直线的方程为，代入椭圆方程可得，所以，，试卷第9页，总13页
同理可知，，，所以＝＝＝，故直线的斜率为定值．设直线的方程为，直线쳌＝㠱和直线相交于点，则，所以䁠䁠＝䁠㤷䁠，把代入，可得，∵＝㤷‴㤷‴㌳，∴㤷，由韦达定理，所以‴㤷‴㠱＝香‴㤷，即，所以＝，所以当㤷＝时，的面积取得最大值．21.（1）쳌＝쳌ᦙ的导数为̵쳌＝쳌，可得切线的斜率为＝，切线方程为＝쳌，可得＝㠱，解得＝‴㠱，＝，即쳌＝쳌‴㠱；（2）쳌ln쳌ᦙ㌳쳌㌳쳌‴ln쳌ᦙ㌳，当쳌＝㠱时，㌳；试卷第10页，总13页
设쳌＝쳌‴㠱ln쳌ᦙ，当쳌㠱时，̵쳌＝쳌‴ln쳌ᦙ-＝쳌‴㠱ln쳌ᦙ，由쳌，可得ln쳌，쳌‴㠱，可得쳌쳌‴㠱，则̵쳌，递减；当쳌㌳时，由＝쳌‴쳌‴㠱的导数为̵＝쳌‴㠱，可得＝쳌‴쳌‴在쳌㌳㠱递增，即有쳌㌳쳌ᦙ㠱，则쳌‴㌳쳌，ln쳌㌳쳌‴㠱ln쳌ᦙ㌳쳌ln쳌ᦙ，设쳌＝쳌ln쳌ᦙ，̵쳌＝ᦙln쳌‴，且̵㠱＝‴，即有㠱ᦙln＝，且̵（-＝ln-，可得，可得＝（‴㠱ᦙ＝递减，（，则쳌的最小值为，可得㌳，可得쳌㌳㠱，原不等式成立．综上可得쳌ln쳌ᦙ㌳쳌㌳．(二)选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号[选修4-4：极坐标与参数方程]22.∵，当且仅当䁠䁠＝䁠䁠时取等号，故䁠䁠＝䁠䁠，∴直线的倾斜角为或㠱，即直线的极坐标方程为cosᦙsin＝香或cos‴sin＝；试卷第11页，总13页
∵䁠䁠，䁠䁠，∴，又函数쳌＝쳌ᦙ在，，在[，∴쳌在[]上单调递增，将쳌＝与쳌＝，可得（，（）＝．∴的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23.因为，ᦙ，且＝ᦙ＝ᦙᦙ，当且仅当ᦙ且ᦙ＝即＝＝㠱时取等号，解得，㠱，故㠱，由基本不等式得，则＝，当且仅当＝＝㠱时，取得最小值；쳌，ᦙ，且，＝＝（）ᦙ（），试卷第12页，总13页
＝+（）（）ᦙ（）＝，当且仅当即，此时＝쳌时取等号，又，所以쳌＝，＝㠱时取等号，．试卷第13页，总13页
