2020-2021学年北京市某校高三（上）诊断性数学试卷（9月份）一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集＝‴㠱⸸⸸㠱⸸⸸⸸，集合＝쳌䁠쳌㠱⸸쳌，＝㠱⸸，则＝（）A.B.⸸C.‴㠱⸸⸸D.‴㠱⸸⸸⸸2.设＝（为虚数单位），则䁠䁠等于（）A.B.C.D.3.已知ᦙ䁪香⸸ᦙ，则ᦙ＝（）A.B.C.D.4.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，已知，，则“，”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知cos，则cos的值为（）A.B.C.-D.-6.设为直线쳌‴ᦙ＝上的动点，，为圆：쳌‴ᦙ＝㠱的两条切线，，为切点，则四边形面积的最小值为（）A.B.C.D.7.如图，已知的顶点平面，点，在平面的同一侧，且䁠䁠ᦙ，䁠䁠ᦙ．若，与平面所成的角分别为，，则面积的取值范图是㠱________.8.函数쳌＝쳌ᦙsin쳌的图象是（）试卷第1页，总14页
A.B.C.D.二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。)9.在四棱锥‴퐷中，底面퐷是正方形，底面퐷，＝，截面퐷㔴与直线平行，与交于点㔴，则下列判断正确的是（）A.㔴为的中点B.与퐷所成的角为C.퐷平面D.三棱锥‴퐷㔴与四棱锥‴퐷的体积之比等于㠱ጀ10.已知双曲线：＝㠱⸸㌳的左、右两个焦点分别是㠱、，双曲线的左、右顶点分别为㠱、，点是双曲线上异于㠱、的任意一点，直线＝쳌，试卷第2页，总14页
与双曲线交于、两点，给出下列命题，其中是真命题的有（）A.双曲线与双曲线⸸㌳有相同渐近线B.直线㠱，斜率之积为C.㠱的面积为tanD.若㠱㠱，则该双曲线的离心率的取值范围是[]11.已知函数쳌＝，若有四个不同的实数쳌㠱，쳌，쳌，쳌满足方程쳌㠱＝쳌＝쳌＝쳌，且쳌㠱쳌쳌쳌，则以下结论一定成立的是（）A.쳌㠱ᦙ쳌＝쳌ᦙ쳌B.쳌㠱쳌＝쳌쳌C.쳌㠱ᦙ香쳌ᦙ香＝쳌‴㠱쳌‴㠱D.쳌㠱ᦙ㠱쳌＝쳌ᦙ㠱쳌12.已知数列满足：㠱＝，ᦙ㠱＝ln（ᦙ㠱‴晦，前项和为（参考数据：lnǤ香，ln㠱Ǥ香香），则下列选项正确的是（）A.‴㠱是单调递增数列，是单调递减数列B.ᦙᦙ㠱lnC.D.‴㠱三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共20分.)13.小红同学去超市买糖果，现有四种不同口味的糖果可供选择（可以有糖果不被选择），单价均为一元一颗，小红只有元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有________种．14.已知抛物线＝쳌的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，若，则点的坐标为________．15.已知쳌，，且满足쳌ᦙᦙ쳌ᦙ㠱＝，则쳌ᦙᦙ쳌ᦙ的最小值是________．试卷第3页，总14页
四、解答题:本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16.在中，，，分别为内角，，的对边，＝，ᦙ＝．在下列两个条件中任选一个，求边以及的面积．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．条件①cos＝；条件②＝．17.已知四棱锥‴퐷中，底面퐷为矩形，平面퐷平面퐷，＝퐷＝퐷＝，点㔴，分别是퐷，的中点．（1）求证：㔴平面；（2）若与平面퐷所成角的余弦值等于，求的长．18.已知数列中，㠱＝，且＝㌳㠱且晦．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求满足‴ᦙ㌳的所有正整数的值．19.某购物平台为了吸引顾客提升销售额，每年“双十一”购物节都会进行某种商品的促销活动．为了预测年“双十一“购物节中该商品促销活动的参与人数，统计了最近五年的“双十一”购物节参与该商品促销活动的人数（见表）；年㠱㠱㠱㠱香㠱香份年㠱份编号参ǤǤ㠱㠱Ǥ㠱Ǥ与人数（百万试卷第4页，总14页
人）（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合参与人数（百万人）与年份编号之间的相关关系．请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测年“双十一”购物节参与该商品促销活动的人数；（2）在年“双十一”购物节前，该购物平台推出订单“秒杀”抢购活动，活动规定每个订单只参加一次“秒杀”抢购，甲、乙、丙三位同学计划在该购物平台分别参加，，三个订单的“秒杀”抢购．若甲、乙、丙参与每个订单的“秒杀”“成功概率均为．记此次活动甲、乙、丙三位同学抢到的订单总数为．①求的分布列与㔴；②已知每个订单由⸸晦件商品组成，记甲、乙、丙三位同学抢购的商品总数量为，若，求㔴取最大值时的正整数的值．参考公式及数据：①回归方程中斜率和截距的最小二乘法公式分别为：，；②．20.设椭圆：＝㠱㌳㌳的离心率＝，且过点㠱，）．设，是椭圆上的两个不同的动点，且直线，的倾斜角互补．（1）求证：直线的斜率为定值；（2）求的面积的最大值．21.已知函数쳌＝쳌ᦙ⸸，且쳌在点（㠱⸸㠱）处的切线方程为＝쳌．（1）求쳌的解析式；（2）证明：当쳌㌳时，有쳌ln쳌ᦙ㌳成立．试卷第5页，总14页
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参考答案与试题解析2020-2021学年北京市某校高三（上）诊断性数学试卷（9月份）一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C2.A3.B4.B5.B6.A7.⸸8.D二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.A,C,D10.A,D11.A,C,D12.A,B,D三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共20分.13.㠱14.，）15.四、解答题:本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.∵ᦙ＝，ᦙᦙ＝，∴＝，选择条件①：∵cos＝，且，∴sin＝＝，∴sin＝sin＝sincos＝＝，试卷第7页，总14页
由正弦定理知，＝，即＝，∴＝，由余弦定理知，＝ᦙ‴cos，即香＝ᦙ㠱‴，化简得＝或㠱，当＝时，有＝＝，又＝，sin＝相矛盾；当＝㠱时，的面积＝＝．选择条件②：由正弦定理知，＝，即，∴cos＝，由余弦定理知，＝ᦙ‴cos，即香＝ᦙ㠱‴，化简得＝或．下面的步骤同条件①．17.证明：取的中点，连接，㔴，∵㔴，分别为퐷，的中点，㠱∴㔴퐷，㔴ᦙ퐷，∵퐷为矩形，∴㔴，㔴＝，∴四边形㔴是平行四边形，∴㔴，㔴平面，又∵平面，∴㔴平面．取퐷的中点，∵＝퐷＝퐷＝，∴퐷，ᦙ，∵平面퐷平面퐷，平面퐷平面퐷＝퐷，∴平面퐷，以为原点，为쳌轴，在平面퐷中过作퐷的垂线为轴，为轴，建立如图坐标系，设＝，则⸸⸸，퐷‴㠱⸸⸸，‴㠱⸸⸸，㠱⸸⸸，∴퐷ᦙ‴㠱⸸⸸‴，퐷ᦙ⸸⸸，设平面퐷的法向量ᦙ쳌⸸⸸，퐷ᦙ‴쳌‴ᦙ则，取쳌ᦙ，得平面퐷的法向量ᦙ⸸⸸‴㠱，퐷ᦙ쳌ᦙᦙ‴⸸⸸，试卷第8页，总14页
设与平面퐷所成角为，∵与平面퐷所成角的余弦值等于，䁠䁠∴sinᦙᦙᦙ㠱‴，ᦙ䁠䁠䁠䁠解得ᦙ，（舍负）．故的长为．18.因为＝㌳㠱且晦,所以＝-•(-)‴,则＝+(--)+...+(-)＝-[(-)ᦙǤǤǤᦙ‴)‴＝-•＝㠱ᦙ‴),上式对＝㠱也成立，故＝ᦙ‴)晦；试卷第9页，总14页
‴ᦙ㌳等价为‴㌳,数列‴的前项和为,令＝‴ᦙ＝‴)‴ᦙ,其前项和为＝‴,则有㠱＝,＝,＝-,故㌳⸸㌳⸸,当时，＝‴)‴ᦙ＝•[(-)‴㠱‴ᦙ,则有,综上可得,不等式成立的＝㠱或．19.由题意，得＝香ᦙᦙᦙᦙ＝，＝Ǥ香ᦙǤᦙᦙ㠱ǤᦙǤ＝㠱Ǥ，所以＝＝＝Ǥ，＝Ǥ‴Ǥ＝Ǥ香．所以回归直线方程为＝ǤᦙǤ香，又当＝时，＝ǤᦙǤ香＝，所以预测年双十一参与该商品促销活动的人数为百万．①由题意知，的所有可能取值为，㠱，，，＝＝㠱‴，试卷第10页，总14页
＝㠱＝㠱‴＝㠱‴，＝香＝㠱‴＝㠱‴，＝＝香，所以的分布列为：㠱㠱㠱‴‴‴㔴＝‴ᦙ㠱㠱‴ᦙ‴ᦙ＝．②因为＝，所以㔴＝㔴＝＝（-，令＝，]，则㔴＝；因为̵＝cos‴＝香cos‴），且，]，所以当＝香，，̵㌳；当＝（，，̵；所以当＝＝，即＝时）＝-，所以㔴取最大值时正整数的值为香．20.证明：由于椭圆的离心率，故，又＝ᦙ，所以＝所以椭圆的方程为쳌ᦙ＝，又点在椭圆上＝，所以，椭圆方程为，设直线的斜率为，则直线的斜率为‴，试卷第11页，总14页
则直线的方程为，代入椭圆方程可得，所以，，同理可知，，，所以＝＝＝，故直线的斜率为定值．设直线的方程为，直线쳌＝㠱和直线相交于点，则，所以䁠䁠＝䁠䁠，把代入，可得，∵＝‴‴㌳，∴，由韦达定理，所以‴‴㠱＝香‴，即，所以＝，所以当＝时，的面积取得最大值．试卷第12页，总14页
21.当쳌㠱时，‴㠱쳌‴㠱⸸ln쳌,所以쳌‴ln쳌㌳ln쳌,又쳌ln쳌ᦙ＝쳌‴㠱ln쳌ᦙ㌳ln쳌ᦙ,令쳌＝ln쳌ᦙ，̵쳌＝-＝,所以쳌在⸸上单调递减，所以쳌㌳㠱＝㌳,即쳌ln쳌ᦙ＝쳌‴㠱ln쳌ᦙ㌳ln쳌ᦙ，故쳌㠱时，不等式成立，当쳌时，先证明不等式쳌‴㠱쳌在쳌㠱⸸ᦙ上恒成立，令쳌＝쳌‴‴쳌쳌㠱,则̵쳌＝쳌‴㠱‴,所以쳌在㠱⸸ᦙ上单调递增,即不等式쳌‴香쳌成立，而此时ln쳌，于是有쳌ln쳌ᦙ쳌‴ln쳌ᦙ쳌ln쳌ᦙ,要证쳌ln쳌ᦙ㌳成立㌳,即证ln쳌ᦙ-㌳在쳌㠱时成立，令쳌＝ln쳌ᦙ-쳌㠱,则̵쳌＝-+＝＝,所以쳌在,)上单调递减,ᦙ上单调递增，所以쳌()＝ln-,即쳌＝ln쳌ᦙ-㌳㌳,试卷第13页，总14页
所以쳌ln쳌ᦙ＝쳌‴㠱ln쳌ᦙ쳌ln쳌ᦙ㌳,故쳌㠱时，命题成立，综上，当쳌㌳时㌳成立．试卷第14页，总14页
